汉声数学图画32.数学_橡皮圈_棒球_甜甜圈 .pptx

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找一张和这一页差不多大的纸。

用铅笔和尺在纸上画一段线。

从线的左端起，标出四个点。

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现在，揉破这张纸。把纸张开，但不要

把纸摊平，你可以看到纸上的线和四个点。

这是到4的路吗？

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你画在纸上的线在许多方面已经改变了。我们说它

已经被扭曲，但并不是这段线所有的性质都改变了。

你可以找出这段线的那些性质没有改变吗？

这段线仍然是连着的，从一端到另一端。而且，如

果你从点1开始，沿着线走，就会走到点2，然后点3，

最后到点4。

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找一条橡皮筋，把它剪断，这样就可以把橡

皮筋拉成一直线。在橡皮筋中央到左端的中点

打一个结，在橡皮筋中央到右端的中点再打一

个结。

现在，把这条橡皮筋拉长为原来的两、三倍长。

不要放松！

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这是另一种扭曲。拉长改变了橡皮筋的许

多性质。但同样的，并不是所有的性质都改

变了。

你能找出这条橡皮筋的哪些性质没有改

变吗？

拉长了的橡皮筋是不是仍然是连着的，从

一端到另一端？你打的两个结之间，是不是

仍然隔着一段橡皮筋？左边的结是不是仍

然比另一个结更接近橡皮筋的左端？

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从前面所提到的两个例子，我们可以看出

线和橡皮筋被扭曲后，有些性质改变了，有

些性质不会改变。我们特别给不会改变的性

质一个名称：“不变性”。

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把线以及不同的图形，经过压缩、卷曲或其他方

式的扭曲之后，有些性质会改变，有些性质不会改

变。

研究这些不会改变的性质的学科，是“拓朴学”。

拓朴学家是研究拓朴学的人。我们处在一个变化

万千的世界，所要抓住的就是东西的不变性。

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当一个人要知道有关一般线的一些事情，通常他会仔

细的测量线有多长。当拓朴学家看到一条揉皱或拉长的

线，他会试着去找出线的不变性，但决不会去测量线有

多长。拓朴学家不在乎一条线有多长，或从一地到另一

地有多远。拓朴学家关心的是什么呢？譬如说，当你在

一个陌生的屋子里，他关心的是你想要知道怎么到厕所

这一类的讯息。

如果有人告诉你，厕所离你所站的地方正好是十七公

尺五十八公分远，这对你一点帮助也没有。你要的是像

下面这样的指示：

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不论距离有多远，只要依照这样的指示，一定可

以找到厕所。即使楼梯延长或者走廊缩短，指示仍

然有用。

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同时，拓朴学家也关心把一条线弯曲成一个圆

之后，所产生的一些变化情形。在一张空白的纸

上画一个圆。你知道你画的圆对纸产生了什么影

响吗？

圆把纸分成两部分。一部份在圆内，另一部份

在圆外。

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你知道这个正方形和三角形在哪一点上和圆很

像？

正方形、三角形和圆一样，把纸分成两个部分。

一部分在线内，另一部分在线外。

即使是一滴小水滴也是一样。

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依我们的想法，曲线是一条弯曲得很平滑的线。

但拓朴学家把任何将纸分成内部和外部的封闭曲

线，叫做“简单封闭曲线”。小水滴、圆、三角

形和正方形都叫做简单封闭曲线。

在一块橡皮或气球上画一个正方形。现在，你

可以把正方形拉成任何弯曲的圆形。

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你可以从这些弯曲的圆形中找出两个不变性吗？

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