计算物理省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件.pptx

计算物理3/lesson/ComputationalPhysics有限差分方法第1页

有限差分方法物理问题和数学方程有限差分原理矩形区域中泊松方程迭代解法非矩形区域中泊松方程一维扩散方程二维扩散方程一维波动方程√第2页

物理问题和数学方程(1/5)物理问题连续体(气体、液体、固体)和场(电磁场、温度场)状态用关于时间和空间函数描述：u=u(x,y,z,t)系统遵照特定物理规律，即u改变满足特定(偏微分)方程数学方程建立稳定过程：泊松方程静电场：电场散度正比电流密度，等于势场u梯度静磁场：类似于静电场√第3页

物理问题和数学方程(2/5)输运过程：扩散方程扩散：流体因为不均匀而发生扩散，扩散密度正比于密度梯度，同时满足质量守恒热传导：类似于扩散振动传输：波动方程交变电磁场机械振动√第4页

物理问题和数学方程(3/5)方程分类二阶线性偏微分方程普通形式椭圆型(B2-4AC0)：二维泊松方程抛物型(B2-4AC=0)：一维扩散方程双曲型(B2-4AC0)：一维波动方程√第5页

物理问题和数学方程(4/5)边界条件和初始条件物理：过程详细特征与初始状态和边界(受外界影响)相关数学：偏微分方程有没有限个解，定解需要初始和边界条件边界条件第一类第二类当u是电磁场势，则代表场强当u是密度/温度/位移，则是流量/热流/应力当q0=0时称为第二类齐次边界条件√第6页

物理问题和数学方程(5/5)第三类例：热传导，系统经过表面与外界交换热量：表面热流正比于表面温度u与外界温度u0之差，即初始条件初始瞬间待求函数u在各处值：初始瞬间u在各处对时间改变率：求解方法大多数没有解析解，只能数值求解求解方法：变分解法、有限元法、有限差分法，边界元法√第7页

有限差分原理(1/3)差商格式基础：用差商代替微商(离散化)√第8页

有限差分原理(2/3)误差为O(h)差商公式√第9页

有限差分原理(3/3)误差为O(h2)差商公式差商格式收敛性和稳定性收敛性：当步长h?0时，差分方程解是否收敛于微分方程解稳定性：误差Du在运算过程中是否失控，即累计误差是否无限增加√第10页

矩形区域中泊松方程(1/1)五点差商格式二维泊松方程收敛性和稳定性：在给定边界条件下含有唯一解，当h?0时趋于解析解拉普拉斯方程方程(f(x,y)=0)五点差商格式√第11页

迭代解法(1/6)差分方程组特点方程个数等于内点数，每条方程最多含5个未知项系数矩阵是稀疏和带状跌代法求解：同时法、异步法和逐次超松弛法同时法用第k步u值，代入方程右边，计算得到新u值，用在第k+1步，…；直到新旧u差值小于设定误差特点：需要两套内存(存放u)，收敛慢异步法计算第k+1步ui,j时，ui-1,j和ui,j-1已经知道特点：需要一套内存(存放u)，收敛较快√第12页

迭代解法(2/6)逐次超松弛法将第k步u值，与异步法中计算得到u值，加权平均，用在第k+1步特点：加权因子w对跌代次数影响很大。经验公式√第13页

迭代解法(3/6)矩形区域第二和三类边界条件当a和b是x,y函数时，应a=a(xi,yj)和b=b(xi,yj)对第二边界条件，令a=0√第14页

迭代解法(4/6)不规则区域第一类边界(不对称网格方法)第二类边界结点在边界上结点不在边界上：过结点P向边界作垂线，交于P点，以P代替P第三类边界前两类边界条件组合√第15页

迭代解法(5/6)例：求解拉普拉斯方程√第16页

迭代解法(6/6)例：求解拉普拉斯方程，边界条件如右图所表示取h=5，有三个内点：uA,uB,uC转化为线性方程组方程解收敛性h55/25/45/85/165/32uA1.7861.2891.1441.1071.0971.095uB7.1436.0195.6325.5255.4985.491uC26.78626.28926.14426.10726.09726.095√第17页

非矩形区域中泊松方程(1/3)二维圆形区域(极坐标系(r,j))泊松方程差分格式圆心(i=1)差分格式：以上格式不适合，利用直角坐标系五点差分格式周期性条件边界条件√第18页

非矩形区域中泊松方程(2/3)例：同轴线两导线(内导线半径a，外导线半径b)间为均匀介质(相对介电常数e)，电位差为V0，求电势分布差分格式√第19页

非矩形区域中泊松方程(3/3)轴对称区域(柱坐标系(r,f,z)?(r,z))泊松方程差分格式对称轴(i=1)差分格式：以上格式不适合其它形状区域/边界网格边界/近似插值?实际边界有限元方法/边界元方法√第20页