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雅礼教育集团2025年上学期3月考试试卷

高二数学

时量:120分钟 分值:150分

一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1、设集合,下列结论中正确的是()

A. B. C. D.

2、已知函数的图像关于点对称,则()

A. B. C. D.

3、复数满足,则的虚部为()

A.-2025 B. C.2 D.

4、边长为1的正三角形中,的值为()

A.1 B.2 C. D.

、已知,则曲线在点处的切线方程为()

B.

C. D.

6、如图,三棱柱中,,分别是、的中点,平面将三棱柱分成体积为(左为,右为)两部分,则()

A. B. C. D.

★7、如图1所示,双曲线具有光学性质;从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射,其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为,从发出的光线经过图2中的两点反射后,分别经过点和,且,则的离心率为()

图1图2

A. B. C. D.

8、已知函数的定义域为是的导数,且,若为偶函数,则()

A.80 B.75 C.70 D.65

二、多项选择题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。

、已知抛物线的焦点到准线的距离是4,直线过它的焦点且与交于,两点,为弦的中点,则下列说法正确的是()

A.抛物线的焦点坐标是(2,0)

B.

C.若,则

D.若以为圆心的圆与的准线相切,则是该圆的一条直径

10、一个不透明的口袋中有8个大小相同的球,其中红球4个,白球1个,黑球3个,则下列选项正确的有()

A.从该口袋中任取3个球,设取出的红球个数为,则数学期望

B.每次从该口袋中任取一个球,记录下颜色后放回口袋,先后取了3次,设取出的黑球次数为,则

C.从该口袋中任取3个球,设取出的球的颜色有种,则数学期望

D.每次从该口袋中任取一个球,不放回,拿出红球即停,设拿出的黑球的个数为,则数学期望

11、高斯被誉为“数学王子”,是世界上伟大数学家.用他名字定义的函数表示不超过的最大整数)称为高斯函数.已知正项数列的前项和为,且,令,则下列结论正确的有()

A. B.

C. D.

三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.

★12、已知,若,则_____

★13、2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕某校足球社的6名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村、口寨村、忠诚村3个村寨进行调研,每个村各有一组来调研,每个组至多3名学生,则不同的安排方法种数为_____

★14、已知不等式在区间上恒成立,则实数的取值范围是_____

四、解答题:共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15、(本小题13分)如图,四棱锥的底面是矩形,是等边三角形,平面平面分别是的中点,与交于点.

(1)求证:平面；

(2)平面与直线交于点,求直线与平面所成角的大小.

16、(本小题15分)已知分别是角的对边,的面积.(1)证明:;

(2)若为的平分线,交于点,且,,求的长.

17、(本小题15分)南澳县是广东唯一的海岛县,海区面积广阔,发展太平洋牡蛎养殖业具有得天独厚的优势,所产的“南澳牡蛎”是中国国家地理标志产品,产量高、肉质肥、营养好,素有“海洋牛奶精品”的美誉.根据养殖规模与以往的养殖经验,产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量(克)在正常环境下服从正态分布.

(1)购买10只该基地的“南澳牡蛎”,会买到质量小于20的牡蛎的可能性有多大？

(2)2019年该基地考虑增加人工投入,现有以往的人工投入增量(人)与年收益增量(万元)的数据如下:

人工投入增量(人)

2

3

4

6

8

10

13

年收益增量(万元)

13

22

31

42

50

56

58

该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量,建立了与的两个回归模型:

模型①:由最小二乘公式可求得与的线性回归方程:;

模型②:由散点图的样本点分布,可以认为样本点集中在曲线:的附近,令

(i)根据所给的统计量,求模型②中关于的回归方程(精确到0.1)；

(ii)根据下列表格中的数据,比较两种模型的决定系数,并选择拟合精度更高、更可靠的模型,预测人工投入增量为16人时的年收益增量.

回归模型

模型①

模型②