黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题.docx

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黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则（???）

A． B．

C． D．

2．已知平面向量，，且，则（???）

A．5 B． C．37 D．

3．已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（???）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

4．复数，在复平面内对应的点关于直线对称，且（其中i为虚数单位），则复数（???）

A． B．1 C． D．

5．对于锐角，满足，则（???）

A． B． C． D．

6．正项等差数列中，，则的最小值为（???）

A． B．5 C． D．6

7．已知函数（，）．若存在使得成立，则实数的取值范围为（???）

A． B． C． D．

8．已知函数，记方程在上的根从小到大依次为，则的值为（???）

A． B． C． D．

二、多选题

9．某高中为了解该校学生的体质情况，对全校同学进行了身体素质测试，现随机抽取所有测试同学中的100名，经统计这一部分同学的体测分数均介于40至100之间；为进一步分析该校学生体质情况，现将数据整理得到如下所示频率分布直方图，则下列结论正确的是（???）

A． B．样本中得分不低于80分的同学有15名

C．估计样本的40%分位数为66分 D．该组数据的平均数大于众数

10．已知为双曲线上一点，、为双曲线C的左、右焦点，G和I分别为的重心和内心．若轴，则（???）

A． B．的面积为

C． D．内切圆的半径

11．如图，已知侧棱长为的直三棱柱中，，，为的中点．则下列说法正确的是（???）

A．当时，异面直线与成角的余弦值是

B．当时，直线与平面成角的余弦值是

C．的最大值是

D．三棱锥体积的最大值是

三、填空题

12．若在的展开式中，含项的系数为80，则．（用数字作答）

13．已知随机事件，．若，，，则．

14．在中，的面积为，且，则的最小值为．

四、解答题

15．设函数，．

(1)若在处切线为，求实数的值；

(2)是否存在实数a，使得当时，函数的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

16．为研究某篮球运动员对球队的贡献情况，现统计某赛季该球员出场情况与比赛结果的数据如下表：

球队赢球

球队输球

总计

参加

30

12

42

未参加

20

20

40

总计

50

32

82

(1)根据小概率值的独立性检验，能否认为该球队赢球与该球员参赛有关联？

(2)为进一步研究该球员对球队的影响作用，现从他参赛的10场比赛（其中赢球场次3场，输球场次7场）中随机抽取2场，用随机变量表示赢球的场数．求随机变量的分布列，数学期望与方差．

参考公式：，其中．

0.10

0.05

0.025

0.010

2.706

3.841

5.024

6.635

17．已知数列满足，（），记．

(1)求证：是等比数列；

(2)设，数列的前n项和为．若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．

18．已知等腰中，，，D是线段上一点，现将沿折起至的位置．设折叠后平面和平面所成的二面角为（）．

(1)若D为中点，求证：．

(2)若，

①求平面和平面所成角的正弦值；

②设E为的中点，过E作平面截三棱锥的外接球，求截面面积的最小值．

19．椭圆与圆和圆都外切．

(1)求椭圆E的方程；

(2)设A，B分别为椭圆E的左右顶点，F为椭圆的右焦点，K为椭圆E上动点（异于A，B），直线与椭圆E交于另一点H．若直线与交于点P，求证：点P在定直线l上；

(3)在（2）的条件下，设直线与直线l交于Q点，椭圆E在点K处的切线与l交于R，

①求证：．

②求面积取最小值时K点的横坐标．

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《黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

B

D

A

B

B

C

C

ABC

AD

题号

11

答案

ACD

1．C

【分析】解一元二次不等式求出集合，再根据补集、交集的定义计算可得.

【详解】由，即，解得，

所以，所以或，

又，所以.

故选：C

2．B

【分析】由向量共线的坐标表示及模长公式即可求解.

【详解】，

因为，