广东省部分学校2025届高三下学期2月开学考试数学试题.docx

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广东省部分学校2025届高三下学期2月开学考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知全集，集合，则（????）

A． B． C． D．

2．抛物线的焦点为是抛物线上一点，且，则焦点到坐标原点的距离是（????）

A．1 B．2 C．4 D．8

3．产品质量指数是衡量产品质量水平的综合指标.某厂质检员从一批产品中随机抽取10件，测量它们的产品质量指数，得到的数据分别为，则这组数据的第70百分位数是（????）

A．83 B．84 C．87 D．88

4．已知直线与圆，则“”是“圆上恰有3个点到直线的距离为1”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．若函数，则（????）

A．的最小正周期为

B．的图象关于直线对称

C．的单调递减区间为

D．的图象与轴的两个交点之间的最小距离是

6．在正四棱台中，，侧棱与底面所成角的余弦值为，则该正四棱台的表面积是（????）

A．36 B．40 C．52 D．56

7．设的内盾的对边分别为，且，为的平分线且与交于点，则面积的最小值是（????）

A． B． C． D．

8．已知直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，是双曲线的左焦点，且，则双曲线的离心率是（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知复数满足，则（????）

A．

B．的实部是

C．

D．复数在复平面内对应的点位于第四象限

10．若、分别是函数、的零点，且，则称与互为“零点相邻函数”.已知与互为“零点相邻函数”，则的取值可能是（????）

A． B． C． D．

11．如图，圆锥底面圆的圆心为是圆的一条直径，与底面所成角的正弦值为是母线的中点，是母线上一动点，则下列说法正确的是（????）

A．圆锥的母线长为12

B．圆锥的表面积为

C．一只蚂蚁沿圆锥的侧面上的曲线从点爬到点处，在蚂蚁所爬的最短路径中，这只蚂蚁离圆锥的顶点的最短距离是

D．在圆锥内放置一个可以绕着中心任意旋转的正方体，则该正方体的体积的最大值是

三、填空题

12．已知向量，若，则.

13．现有6根小棒，其长度分别为，从这6根小棒中随机抽出3根首尾相接（不能折断小棒），则能构成三角形的概率是.

14．已知函数的最小值是，则.

四、解答题

15．在数列中，.

(1)证明：数列是等差数列.

(2)求的通项公式.

(3)若，求数列的前项和.

16．已知函数.

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)讨论的单调性.

17．如图，在四棱锥中，是等边三角形，四边形是直角梯形，，.

(1)证明：平面平面.

(2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

18．某商场推出了购物抽奖活动，活动规则如下：如图，在点处各安装了一盏灯，每次只有一处的灯亮起.初始状态是点处的灯亮起，程序运行次数的上限为，然后按下开始按扭，程序开始运行，第1次是与相邻点处的其中一盏灯随机亮起，第次是与第次灯亮处相邻点的其中一盏灯随机亮起.若在运行过程中，点处的灯再次亮起，则游戏结束，否则运行次后游戏自动结束.在程序运行过程中，若点处的灯再次亮起，则顾客获奖.已知顾客小明参与了该购物抽奖活动.

(1)求程序运行2次小明获奖的概率：

(2)若，求小明获奖的概率；

(3)若，记游戏结束时序运行的次数为，求的分布列与期望.

19．已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别是是椭圆上一点，且.

(1)求椭圆的标准方程.

(2)过点的直线与椭圆交于两点（异于顶点），直线分别交椭圆于两点（异于）.

①当直线的斜率不存在时，求的面积；

②证明：直线过定点.

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《广东省部分学校2025届高三下学期2月开学考试数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

B

D

A

C

D

B

B

AC

ABC

题号

11

答案

BCD

1．C

【分析】先计算集合A，再应用补集定义运算即可.

【详解】由题意可得，

又，则.

故选：C.

2．B

【分析】运用抛物线定义，构造方程可解p，得解.

【详解】由题意可得，解得，则焦点到坐标原点的距离是2.

故选：B.

3．D

【