甘肃省平凉市第一中学2025届高三下学期高考冲刺压轴（一）数学试卷.docx

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甘肃省平凉市第一中学2025届高三下学期高考冲刺压轴（一）数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知平面向量，，若，则（????）

A．1 B． C．0 D．

2．已知，，则（????）

A． B．

C． D．

3．若复数是纯虚数，则（????）

A． B． C． D．

4．如图，在梯形中，，，，，为线段的中点，先将梯形挖去一个以为直径的半圆，再将所得平面图形以线段的垂直平分线为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为（????）

??

A． B． C． D．

5．已知，为两个不同平面，为直线且，则“”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．已知数列满足，，则的前2025项和（????）

A． B． C． D．

7．已知函数，对任意实数，存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（????）

A． B． C． D．

8．已知函数是定义在上的偶函数，且，恒成立，则（????）

A． B． C．1 D．

二、多选题

9．已知，则（????）

A． B． C． D．

10．已知函数，则（????）

A．，

B．在上单调递增

C．的极大值为1

D．的极小值为

11．已知为抛物线：的焦点，为上一点，点到的距离的最小值为4，过的直线交于，两点，的过，的切线交于点，则（????）

A．的准线方程为

B．若，则线段的中点到轴的距离为5

C．若的坐标为，则的方程为

D．的面积的最小值为64

三、填空题

12．过点与圆：相切的直线方程为.

13．如图，有排列整齐的20个盒子和20个球（其中红球和黄球各5个，黑球10个），在每个盒子中随机放入了一个球，球的颜色可能是红色、黄色、黑色中的一种.现随机先后打开每个盒子（直到打开所有盒子结束），则红球最先被全部开出的概率为.

14．设双曲线：的右焦点为为坐标原点，过的直线与的右支相交于，两点.若恒为锐角，则的离心率的取值范围为.

四、解答题

15．在中，角，，的对边分别为，，，.

(1)求角的大小；

(2)为边上一点，且，若，求的最大值.

16．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，点满足．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若过点的直线交椭圆于两点，垂直于轴的直线与椭圆的另一个交点为，求面积的最大值．

17．高血脂症是指脂肪代谢或者运转异常使人体血液中的血脂含量超过正常范围，表现为血中胆固醇或甘油三酯过高或高密度脂蛋白过低，现代医学称“血脂异常”.高血脂症是常见病、多发病，更是导致心脑血管疾病的元凶.必威体育精装版的调查显示，中国成人高血脂的患病率为41.1%，大概每五位成人中就有两位是高血脂患者.改善生活方式和药物治疗是最常用的治疗方式，同时适当锻炼可以使血脂水平下降，高血脂发病率降低，控制高血脂的发展.

(1)某社区为鼓励和引导辖区居民积极参加体育健身活动，养成良好的锻炼习惯，开展“低碳万步走，健康在脚下”徒步走活动.下表为开展活动起5个季度社区高血脂患者的血脂情况统计.

季度

1

2

3

4

5

血脂明显降低（或治愈）人数/人

100

150

210

270

320

已知血脂明显降低（或治愈）人数与季度变量（季度变量依次为）具有线性相关关系，试求出与的经验回归方程，并预测第6季度血脂明显降低（或治愈）者大约有多少人？

(2)社区将参加徒步走活动的队员分成了甲、乙、丙三组去参加徒步走比赛.若比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲组在每轮比赛中获胜的概率均为；乙组在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙组在第一轮和第二轮获胜的概率分别为和.设进入决赛的组数为，求的分布列与数学期望.

附：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，

18．已知函数.

(1)当时，若直线过原点且与曲线相切，求的方程；

(2)若函数在上恰有2个零点，.

①求的取值范围；

②求证：.

19．如图，在棱长为2的正方体中，，，分别为棱，，的中点.

(1)求平面与平面的夹角的余弦值；

(2)点为正方体表面或内部一点.

①若点为线段上一点，点，分别为直线，直线上的动点，求的最小值；

②若点在正方体的表面上，且点到以为公共顶点的三个面中的两个面的距离相等，到第三个面的距离等于点到该正方体中心的距离，求出满足条件的点的个数.

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