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用向量法求直线与平面所成的角教案

??一、教学目标

1.知识与技能目标

理解直线与平面所成角的概念，能用向量法求直线与平面所成的角。

掌握利用空间向量的夹角公式来计算直线与平面所成角的具体方法。

2.过程与方法目标

通过对直线与平面所成角定义的理解，培养学生的空间想象力和逻辑推理能力。

经历向量法求解直线与平面所成角的过程，体会向量法在立体几何中的应用，提高学生运用向量工具解决几何问题的能力。

3.情感态度与价值观目标

让学生感受向量法在解决立体几何问题中的简洁性和有效性，激发学生学习数学的兴趣。

通过自主探究和合作交流，培养学生的创新精神和团队合作意识。

二、教学重难点

1.教学重点

直线与平面所成角的向量法求解公式的推导与应用。

明确直线的方向向量与平面的法向量之间的夹角和直线与平面所成角的关系。

2.教学难点

如何引导学生理解直线与平面所成角的向量法求解公式的原理，尤其是理解直线的方向向量与平面的法向量夹角与直线和平面所成角之间的关系。

在实际问题中准确地建立空间直角坐标系，确定直线的方向向量和平面的法向量，并进行正确的计算。

三、教学方法

1.讲授法：讲解直线与平面所成角的概念、向量法求解公式的推导过程等重要知识点，确保学生理解基本概念和原理。

2.讨论法：组织学生讨论直线的方向向量与平面的法向量夹角和直线与平面所成角之间的关系，激发学生的思维，加深对知识点的理解。

3.练习法：通过适量的练习题，让学生巩固所学知识，掌握向量法求解直线与平面所成角的方法和技巧，提高解题能力。

四、教学过程

（一）导入新课（5分钟）

1.复习回顾

提问学生平面向量的夹角公式以及空间向量的相关知识，如空间向量的坐标表示、向量的数量积运算等。

回顾直线的方向向量和平面的法向量的定义。

2.情境引入

展示一些生活中直线与平面相交的实例图片，如电线杆与地面、建筑物的斜支柱与地面等，引导学生观察并思考如何刻画直线与平面所成的角。

提出问题：在立体几何中，我们如何准确地定义直线与平面所成的角呢？又如何计算这个角的大小呢？从而引出本节课的主题用向量法求直线与平面所成的角。

（二）讲解新课（25分钟）

1.直线与平面所成角的概念

讲解直线与平面所成角的定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足。过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影。平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。

强调当直线与平面垂直时，直线与平面所成的角为\(90^{\circ}\)；当直线在平面内或直线与平面平行时，直线与平面所成的角为\(0^{\circ}\)。

2.向量法求直线与平面所成角的公式推导

设直线\(l\)的方向向量为\(\vec{a}\)，平面\(\alpha\)的法向量为\(\vec{n}\)，直线\(l\)与平面\(\alpha\)所成的角为\(\theta\)，\(\vec{a}\)与\(\vec{n}\)的夹角为\(\beta\)。

引导学生思考：直线的方向向量与平面的法向量的夹角和直线与平面所成的角之间有什么关系？

通过图形分析（在黑板上画出相应的图形），让学生观察发现：\(\sin\theta=|\cos\beta|=\frac{|\vec{a}\cdot\vec{n}|}{|\vec{a}||\vec{n}|}\)。

详细推导公式：

已知\(\vec{a}\cdot\vec{n}=|\vec{a}||\vec{n}|\cos\beta\)，则\(\cos\beta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{n}}{|\vec{a}||\vec{n}|}\)。

当\(0\leq\beta\leq\frac{\pi}{2}\)时，\(\theta=\beta\)，\(\sin\theta=\sin\beta=\frac{|\vec{a}\cdot\vec{n}|}{|\vec{a}||\vec{n}|}\)。

当\(\frac{\pi}{2}\beta\leq\pi\)时，\(\theta=\pi\beta\)，\(\sin\theta=\sin(\pi\beta)=\sin\beta=\frac{|\vec{a}\cdot\vec{n}|}{|\vec{a}||\vec{n}|}\)。

总结向量法求直线与平面所成角的公式：\(\sin\theta=\frac{|\vec{a}\cdot\vec{n}|}{|\vec{a}||\vec{n}|}\)，其中\(\