上海市嘉定区2024-2025学年高三下学期第二次质量调研数学试题及答案.docx

2024学年高三年级第二次质量调研

数学试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果．

1.已知集合，集合，则＝______．

【答案】

根据交集的定义计算.

解析：.

故答案为：.

2.不等式的解集为___________.

【答案】

根据分式不等式的解法得，再解二次不等式即可得答案.

解析：解：由分式不等式的解法得原不等式等价于，

解不等式得.

故不等式的解集为.

故答案为：

3.已知向量，若，则______．

【答案】8

由向量垂直的坐标表示，列方程求参数值.

解析：由题设.

故答案为：8

4.已知等比数列的首项为1，公比为q，其前n项和为．若，则q的取值范围为______．

【答案】

根据等比数列的知识化简已知条件，从而求得正确答案.

解析：依题意，，即，

所以.

故答案为：

5.在二项展开式中，常数项的值为______．

【答案】60

利用二项展开式的通项公式即可得出

解析：二项式的展开式的通项公式为：

，

令，解得，

所以二项式的展开式中的常数项为.

故答案为：60.

6.已知，若，则______．

【答案】##0.4

根据已知，应用商数关系及平方关系可得，再应用二倍角正弦公式求函数值.

解析：由，

所以，则.

故答案为：

7.直线与圆相交所得的弦长为______．

【答案】

首先确定圆心和半径，应用点线距离公式求圆心到直线的距离，再利用几何法求相交弦长即可.

解析：由，即，

所以圆心，半径为，

所以到的距离，

综上，直线与圆的相交弦长为.

故答案为：

8.已知复数满足，则的值为______．

【答案】

利用复数的几何意义，把复数和平面向量建立一一对应关系，再利用向量的加减运算及平行四边形的性质即可.

解析：设对应的复数为，对应的复数为，

则对应的复数为，对应的复数为，

因为，

由平行四边形的性质可得：

所以

故答案为：

9.在由1，2，3，4，5这五个数组成的无重复数字的四位数中，其能被3整除的概率为______.

【答案】##0.2

利用排列数公式分别求出由1，2，3，4，5这五个数组成的无重复数字的四位数的个数，及其中能被3整除的四位数的个数，再根据古典概型公式即可得解.

解析：由1，2，3，4，5这五个数组成的无重复数字的四位数共个，

其中能被3整除的四位数是由1，2，4，5组成的，共，

故由1，2，3，4，5这五个数组成的无重复数字的四位数中，其能被3整除的概率为.

故答案为：.

10.已知某次数学的测试成绩X服从的正态分布，若小明的成绩不低于91分，那么他的成绩大约超过了______%的学生（精确到0.1%）．（参考数据：）

【答案】

根据正态分布的范围求解即可.

解析：因为，

所以，

故答案为：

11.某建筑公司欲设计一个正四棱锥形纪念碑，要求其顶点位于容积为36π立方米的球形景观灯所在球面上．考虑到抗风、抗震等结构安全需求，侧棱长度l需满足．当纪念碑体积取得最大值时，正四棱锥的侧棱长约为______米（精确到0.01米）．

【答案】

由题设可得球半径为，结合正四棱锥的结构特征及其外接球半径与棱长、底面边长的关系得，进而得到纪念碑体积关于的表达式，应用导数求其最大值，并确定对应的侧棱长.

解析：若球的半径为，则，可得，又，

对于正四棱锥，设底面边长为，高为，

则，所以，即，

又，则，故，即，

纪念碑体积，令，

对于，则在上单调递减，

当时，即在上单调递增，

当时，即在上单调递减，

所以，故，此时米.

故答案为：

12.在平面直角坐标系中，一质点P从原点O出发，第一次从点O移动到点，第二次从点移动到点，…，第k次从点（规定）移动到点.记向量，其模长为k，方向与x轴正方向成角，设为经过n次移动的位移向量，即，则当时，n的值为______.

【答案】

根据题意，求出向量的坐标，再求出向量的坐标，根据模长求解即可.

解析：根据题意可知的模长为k，方向与x轴正方向成角，，

∴，

∴，；

，；

，；

，.

故.

故答案为：.

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13.已知实数a，b满足，则下列不等式中，不恒成立的是（）

A. B. C. D.

【答案】B

根据幂函数的单调性、特殊值、基本不等式、指数函数的单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

解析：A选项，幂函数在上单调递增，

由于，所以，A选项不等式恒成立.

B选项，当时，，但，B选项不等式不恒成立.

C选项，，根据基本不等式可知，B选项不等式恒成立.

D选项，指数函数在上单调递增，

由于，所以，D选