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等差数列的前n项和教学设计

??一、教学目标

1.知识与技能目标

掌握等差数列前n项和公式及其推导过程。

能熟练运用等差数列前n项和公式解决相关问题。

2.过程与方法目标

通过公式的推导，体会倒序相加法的思想，培养学生的逻辑推理能力。

通过公式的应用，提高学生分析问题和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标

让学生在探究活动中感受数学的严谨性，培养学生的探究精神。

通过合作学习，增强学生的团队协作意识。

二、教学重难点

1.教学重点

等差数列前n项和公式的推导与理解。

等差数列前n项和公式的应用。

2.教学难点

等差数列前n项和公式推导思路的获得。

三、教学方法

讲授法、讨论法、探究法相结合

四、教学过程

（一）导入新课（5分钟）

1.展示泰姬陵图片，介绍泰姬陵是印度著名的建筑，其陵寝的图案是一个等差数列。

2.提出问题：如何计算这个等差数列图案中所有宝石的数量呢？引出本节课的主题等差数列的前n项和。

（二）讲授新课（25分钟）

1.等差数列前n项和公式的推导

以高斯计算1+2+3+...+100的故事为引例，引导学生思考高斯的计算方法。

设等差数列\(\{a_n\}\)的首项为\(a_1\)，公差为\(d\)，前\(n\)项和为\(S_n\)，即\(S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n\)。

我们可以将\(S_n\)写成\(S_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+\cdots+[a_1+(n1)d]\)①

把①式右边倒过来写可得\(S_n=a_n+(a_nd)+(a_n2d)+\cdots+[a_n(n1)d]\)②

①+②得：

\[

\begin{align*}

2S_n=(a_1+a_n)+(a_1+a_n)+(a_1+a_n)+\cdots+(a_1+a_n)\\

=n(a_1+a_n)

\end{align*}

\]

所以\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)。

又因为\(a_n=a_1+(n1)d\)，将其代入上式可得\(S_n=na_1+\frac{n(n1)}{2}d\)。

2.公式的理解与记忆

引导学生分析两个公式的特点。

强调公式中各字母的含义：\(n\)表示项数，\(a_1\)表示首项，\(a_n\)表示末项，\(d\)表示公差。

通过举例让学生练习运用公式，如已知等差数列\(2,5,8,\cdots\)，求其前\(10\)项和。

（三）例题讲解（20分钟）

例1：已知等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_{10}=19\)，求\(S_{10}\)。

分析：直接利用公式\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)，这里\(n=10\)，\(a_1=1\)，\(a_{10}=19\)。

解：\(S_{10}=\frac{10\times(1+19)}{2}=100\)。

例2：等差数列\(10,6,2,2,\cdots\)的前多少项和为\(54\)？

分析：先求出首项\(a_1=10\)，公差\(d=4\)，然后代入公式\(S_n=na_1+\frac{n(n1)}{2}d\)，得到关于\(n\)的方程求解。

解：由\(a_1=10\)，\(d=4\)，\(S_n=54\)，代入公式可得：

\[

\begin{align*}

10n+\frac{n(n1)}{2}\times4=54\\

10n+2n(n1)=54\\

10n+2n^22n=54\\

2n^212n54=0\\

n^26n27=0\\

(n9)(n+3)=0

\end{align*}

\]

解得\(n=9\)或\(n=3\)（舍去），所以前\(9\)项和为\(54\)。

例3：已知等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，\(a_1=2\)，\(S_5=20\)，求\(a_6\)。

分析：先根据\(S_5=20\)求出公差\(d\)，再求\(a_6\)。

解：由\(S_5=5a_1+\frac{5\times4}{2}d=20\)，\(a_1=2\)，代入可得：

\[

\begin{align*}

5\times2+\frac{5\times4}{2}d=20\\

10+10d=20\\

10d=10\\

d=1

\end{align*}

\]

所以\(a_6=a_1+5d=2+5\times1=7\)。

（四）课堂练习（15分钟）

1.在等差数列