全国2024年高考数学二轮复习试题专题02函数与方程含解析.pdfVIP

专题02函数与方程

专题02函数与方程

【考点1】函数的零点

对于•般函数)，=/(x),xe。，我们把使/。)=成立的实数x叫做函数y=/(x),xe。的零点.注

意困数的零点不是点，是一个数.

【考点2】函数的零点与方程的根之间的联系

函数)，=/(对的零点就是方程/。)=的实数根，也就是函数)，=/(x)的图象与％轴的交点的横坐标

即方程/(X)=有实数根o函数y=f(x)的图象与工轴有交点=函数y=fM有零点.

【考点3】零点存在定理

假如函数y=/(x)在区间寸力］上上图象是连绵不断的一条曲线,并且有/3)/(3,那么,函数

)，=〃外在区间(。1)内有零点，即存在cwQ加，使得/(c)=,这个c也就是方程/(x)=的根.

注：上述定理只能推断出零点存在，不能确定零点个数.

【考点4】二分法

对于在区间上连绵不断且/(〃)•/(5)。的函数y=fM,通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间

一分为二，使区间的两个端点逐步靠近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.求方程/(x)=的

近似解就是求函数/U)零点的近似值.

【考点5】高频考点技巧

①若连绵不断的函数/(x)是定义域上的单调函数，则/(x)至多有一个零点：

②连绵不断的函数，其相邻两个零点之间的全部函数值保持同号：

③函数/。)=/(八一)一身(均有零点。方程厂。)=。有实数根。函数y=/(幻与必=g(x)的图象有交

点；

④函数/)=/。)一。有零点O方程产。)=有实数根。函数)1=/(幻与2=。的图象有交点

。日对)，=/。)｝，其中。为常数.

方法一：确定函数f(x)零点个数(方程F(x)=O的实根个数)的方法：

(1)推断二次函数〃力在R上的零点个数，一般由对应的二次方程/(力=的判别式△(),△=(),△

V来完成；对于一些不使用判别式推断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行推断.

(2)对于一般函数零点个数的推断，不仅要用到零点存在性定理，还必需结合函数的图象和性质才能确

定，如三次函数的零点个数问题.

(3)若函数F(x)在挤［6］上的图象是连绵不断的一条的线，且是单调函数，又f(a)-f(8)V,则y=

/tx)在区间(a,/内有唯一零点.

方法二：导数探讨函数图象交点及零点问题

利用导数来探讨函数)，=/*)的图象与函数y=g(x)的图象的交点问题，有以下几个步骤：

①构造函数〃(幻=/(x)-g(x)：

②求导)：

③探讨函数力(工)的单调性和极值(必要时要探讨函数图象端点的极限状况)：

④画出函数/Mx)的草图，视察与x轴的交点状况，列不等N；

⑤解不等式得解.

探讨函数y=/(x)的零点个数，往往从函数的单调性和极值入手蟀决问题，结合零点存在性定理求解.

2

题型一:推断零点所在区间

例1.(1)、(新疆疏勒县八一中学224-225学年高二上期末)

2

函数/(x)=ln(x+l)——的一个零点所在的区间是()

X

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】B

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【析】由题得/(l)=ln2-1=ln2—20,

2

/(2)=ln3--=ln3-l0,