天津市南开大学附属中学2024-2025学年高三下学期开学考试数学试题.docx

试卷第=page11页，共=sectionpages33页

试卷第=page11页，共=sectionpages33页

天津市南开大学附属中学2024-2025学年高三下学期开学考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，集合，则（????）

A． B． C． D．

2．下列条件中，使得“”成立的充分不必要条件是（????）

A． B． C． D．

3．云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模数据，且市场规模与年份代码的关系可以用模型（其中为自然对数的底数）拟合，设，得到数据统计表如下：

年份

2018年

2019年

2020年

2021年

2022年

年份代码

1

2

3

4

5

2

2.4

3

3.6

4

由上表可得经验回归方程，则2026年该科技公司云计算市场规模的估计值为（????）

（参考公式：）

A． B． C． D．

4．下列函数中，既是偶函数又在区间上是增函数的是（???）

A． B． C． D．

5．已知，，则（????）

A． B． C． D．

6．若，则（????）

A． B． C．1 D．

7．已知数列的前n项和为，若，则（????）

A．16 B．32 C．54 D．162

8．十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，左图中的故宫角楼的顶部即为十字歇山顶.其上部可视为由两个相同的直三棱柱重叠而成的几何体（如右图）.这两个直三棱柱有一个公共侧面ABCD.在底面BCE中，若,,则该几何体的体积为（????）

A． B． C．27 D．

9．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（????）

A． B． C．2 D．3

二、填空题

10．i为虚数单位，复数则.

11．展开式中的系数为．

12．若直线被圆截得的弦长为，则的值为．

13．某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为．

14．在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为；的最小值为．

15．设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为．

三、解答题

16．在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知.

(1)求的值；

(2)求的值；

(3)求的值.

17．如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点，.

(1)求证：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值；

(3)求平面与平面夹角的余弦值．

18．已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程．

19．设是等差数列，是等比数列，且．

(1)求与的通项公式；

(2)设的前n项和为，求证：；

(3)求．

20．已知，函数．

（I）求曲线在点处的切线方程：

（II）证明存在唯一的极值点

（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．

答案第=page11页，共=sectionpages22页

答案第=page11页，共=sectionpages22页

《天津市南开大学附属中学2024-2025学年高三下学期开学考试数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

答案

B

B

C

C

A

C

C

C

A

1．B

【分析】利用集合的交集、补集运算求解即可.

【详解】由题可得：或，所以，

故选：B

2．B

【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】对于A：因为在定义域上单调递增，

所以由可以得到，故充分性成立，

由可以推得出，故必要性成立，

所以是的充要条件，故A错误；

对于B：因为在定义域上单调递减，由可得，故充分性成立，

由不一定得到，故必要性不成立，

故是的充分不必要条件，故B正确；

对于C：当，时满足，但是不成立，即充分性不成立，

当，时满足，但是，故必要性不成立，

所以是的既不充分又不必要条件，故C错误；

对于D：当，时满足，但是不成立