安徽省安庆市部分重点中学2024-2025学年高三下学期4月联考数学试卷.docx

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安徽省安庆市部分重点中学2024-2025学年高三下学期4月联考数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．若复数z满足（为虚数单位），则的最大值为（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．已知可导函数的定义域为，是的导函数，且为偶函数为奇函数，则（????）

A． B． C． D．

3．已知，则（????）

A． B． C． D．

4．已知向量、满足：，，向量与向量的夹角为，则的最大值为（????）

A． B．2 C． D．4

5．设函数，若恒成立，则的最小值为（???）

A． B． C． D．1

6．已知正方体的棱长为1，点P在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最小值为（???）

A． B． C． D．

7．已知为圆锥的底面直径，为底面圆心，正三角形内接于，若，圆锥的侧面积为，则与所成角的余弦值为（????）

A． B． C． D．

8．已知点，，是与轴的交点．点满足：以为直径的圆与相切，则面积的最大值为（????）

A． B．8 C．12 D．16

二、多选题

9．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（????）

A．与的图象关于直线对称

B．与的图象关于点对称

C．当时，

D．当时，与的图象恰有4个交点

10．已知点Q在圆上，，动点满足：在中，．则（???）

A．记的轨迹方程为轨迹： B．的最大值为

C．的最小值是 D．（点O为坐标原点）的最小值为7

11．已知函数的定义域为，且，，则（????）

A． B．，

C．的图象关于点对称 D．为偶函数

三、填空题

12．已知函数，若实数满足，则的最大值为．

13．已知，则．

14．如图，在的方格中放入棋子，每个格子内至多放一枚棋子，若每行都放置两枚棋子，则恰好每列都有两枚棋子的概率为．

??

四、解答题

15．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．

(1)求证：；

(2)若是锐角三角形，且角A的平分线交BC边于D，且，求边b的取值范围．

16．如图，三棱柱的所有棱长都为2，,是的中点，．

(1)证明：平面平面；

(2)求与平面所成角的正弦值．

17．已知椭圆的右焦点与双曲线的右焦点重合，且椭圆过．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)当过的动直线与椭圆相交于不同的两点时，在线段上取一点，满足，证明：在某定直线上．

18．洛必达法则对导数的研究产生了深远的影响.洛必达法则：给定两个函数，当时，.已知函数，.

(1)证明：在区间上单调递减；

(2)对于恒成立，求实数的取值范围；

(3)，证明：（附：）.

19．当前，以大语言模型为代表的人工智能技术正蓬勃发展，而数学理论和方法在这些模型的研发中，发挥着重要作用．例如，当新闻中分别出现“7点钟，一场大火在郊区燃起”和“7点钟，太阳从东方升起”这两个事件的描述时，它们提供的“信息量”是不一样的，前者比后者要大，会吸引人们更多关注．假设通常情况下，它们发生的概率分别是和，用这个量来刻画“信息量”的大小，计算可得前者约为9，后者接近于0．现在假设离散型随机变量的分布列为，，．则称为的信息熵，用来刻画随机变量蕴含的信息量的大小．

(1)若的分布列为，，，求的最大值；

(2)证明：；

(3)若，且为定值，设，证明：．

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《安徽省安庆市部分重点中学2024-2025学年高三下学期4月联考数学试卷》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

C

C

D

D

A

A

B

ACD

ACD

题号

11

答案

ACD

1．C

【分析】根据复数的几何意义判断可得出结果.

【详解】设，若满足，即，

所以，即，

则点在以为圆心，1为半径的圆上，易知原点在圆外，

又圆心到坐标原点的距离为，所以的最大值为，

故选：C．

2．C

【分析】由题意可得，由函数奇偶性的定义得出，求导得出，进而可推出函数是周期为的周期函数，以及函数的对称中心为，求出、的值，结合函数周期性可求得的值.

【详解】因为函数为奇函数，则，

即，令，则，

所以，函数的对称中心为，且，①

在等式①中，令可得，解得，

在等式①中，令可得,

因为函数为偶函数，则，

令，可得，求导得，

则，②

由①②可得，令，