秦九韶算法教学设计.docx

秦九韶算法教学设计

??一、教学目标

1.知识与技能目标

理解秦九韶算法的原理，掌握秦九韶算法的一般步骤。

能够运用秦九韶算法计算多项式的值，并体会其算法的优越性。

2.过程与方法目标

通过对秦九韶算法原理的探究，培养学生观察、分析、归纳和概括的能力。

在运用秦九韶算法解决问题的过程中，提高学生的逻辑思维能力和算法设计能力。

3.情感态度与价值观目标

通过介绍中国古代数学成就，增强学生的民族自豪感和自信心。

培养学生勇于探索、敢于创新的精神，激发学生学习数学的兴趣。

二、教学重难点

1.教学重点

秦九韶算法的原理和一般步骤。

用秦九韶算法计算多项式的值。

2.教学难点

理解秦九韶算法把求\(n\)次多项式的值转化为求\(n\)个一次多项式的值的思想。

秦九韶算法的程序设计。

三、教学方法

讲授法、讨论法、探究法相结合

四、教学过程

（一）导入新课（5分钟）

通过多媒体展示中国古代数学著作《数书九章》的封面和相关图片，介绍作者秦九韶以及这部著作在数学史上的重要地位。引出本节课要学习的秦九韶算法。

提问：在没有计算机的古代，人们是如何高效地计算多项式的值的呢？这就是我们今天要探究的内容秦九韶算法。

（二）知识讲解（15分钟）

1.多项式的一般形式

展示一个一般的\(n\)次多项式：\(f(x)=a_nx^n+a_{n1}x^{n1}+\cdots+a_1x+a_0\)，其中\(a_n\neq0\)，\(n\inN\)。

2.秦九韶算法的原理

以一个具体的三次多项式\(f(x)=3x^3+2x^2+x+1\)为例，引导学生逐步分析如何简化计算过程。

首先将多项式变形为：\(f(x)=(3x^2+2x+1)x+1\)。

进一步变形为：\(f(x)=((3x+2)x+1)x+1\)。

设\(v_1=3x+2\)，\(v_2=v_1x+1\)，\(v_3=v_2x+1\)。

从内向外计算，当\(x\)取某一值时，先计算最内层括号的值\(v_1\)，再依次计算\(v_2\)，\(v_3\)，最终得到\(f(x)\)的值。

通过这个例子，总结秦九韶算法的原理：把一个\(n\)次多项式\(f(x)\)改写成如下形式：

\(f(x)=a_nx^n+a_{n1}x^{n1}+\cdots+a_1x+a_0\)

\(=(a_nx^{n1}+a_{n1}x^{n2}+\cdots+a_1)x+a_0\)

\(=((a_nx^{n2}+a_{n1}x^{n3}+\cdots+a_2)x+a_1)x+a_0\)

\(=\cdots\)

\(=(\cdots((a_nx+a_{n1})x+a_{n2})x+\cdots+a_1)x+a_0\)

记\(v_0=a_n\)，\(v_1=v_0x+a_{n1}\)，\(v_2=v_1x+a_{n2}\)，\(\cdots\)，\(v_n=v_{n1}x+a_0\)，这样，求\(n\)次多项式\(f(x)\)的值就转化为求\(n\)个一次多项式的值。

3.秦九韶算法的一般步骤

输入多项式的次数\(n\)、最高次项系数\(a_n\)和\(x\)的值。

令\(v_0=a_n\)。

对于\(k=1,2,\cdots,n\)，计算\(v_k=v_{k1}x+a_{nk}\)。

输出\(v_n\)，即多项式\(f(x)\)的值。

（三）例题讲解（20分钟）

例1：用秦九韶算法计算多项式\(f(x)=x^5+2x^4+3x^3+4x^2+5x+6\)当\(x=2\)时的值。

解：将多项式变形为\(f(x)=((((x+2)x+3)x+4)x+5)x+6\)。

当\(x=2\)时：

\(v_0=1\)；

\(v_1=v_0\times2+2=1\times2+2=4\)；

\(v_2=v_1\times2+3=4\times2+3=11\)；

\(v_3=v_2\times2+4=11\times2+4=26\)；

\(v_4=v_3\times2+5=26\times2+5=57\)；

\(v_5=v_4\times2+6=57\times2+6=120\)。

所以\(f(2)=120\)。

例2：已知多项式\(f(x)=5x^4+4x^3+3x^2+2x+1\)，用秦九韶算法计算\(f(3)\)的值。

解：\(f(x)=((((5x+4)x+3)x+2)x+1\)。

当\(x=3\)时：

\(v_0=5\)；

\(v_1=v_0\times3+4=5\times3+4=19\)；

\(v