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等差数列前n项和教案

??一、教学目标

1.知识与技能目标

理解等差数列前\(n\)项和公式的推导过程，掌握等差数列前\(n\)项和公式。

能运用等差数列前\(n\)项和公式解决简单的实际问题，如求等差数列的前\(n\)项和、已知前\(n\)项和求项数等。

2.过程与方法目标

通过对等差数列前\(n\)项和公式的推导，培养学生观察、分析、归纳、推理等逻辑思维能力，体会从特殊到一般的数学思想方法。

在公式的应用过程中，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，培养学生的运算求解能力。

3.情感态度与价值观目标

通过等差数列前\(n\)项和公式的探索与推导，激发学生的学习兴趣，让学生体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心。

在解决实际问题的过程中，培养学生的数学应用意识，让学生体会数学与生活的紧密联系，感受数学的价值。

二、教学重难点

1.教学重点

等差数列前\(n\)项和公式的推导及应用。

灵活运用等差数列前\(n\)项和公式解决相关问题。

2.教学难点

等差数列前\(n\)项和公式推导思路的获得，即如何引导学生通过倒序相加法推导公式。

对等差数列前\(n\)项和公式中各量的理解与应用，以及在不同情境下公式的灵活变形。

三、教学方法

1.讲授法：通过清晰、准确的语言向学生传授知识，讲解等差数列前\(n\)项和公式的推导过程、概念、性质及应用等。

2.讨论法：组织学生就等差数列前\(n\)项和公式的推导思路、公式的应用等问题进行讨论，激发学生的思维，促进学生之间的交流与合作，培养学生的团队精神和自主探究能力。

3.练习法：设计适量的练习题，让学生通过练习巩固所学知识，提高运用等差数列前\(n\)项和公式解决问题的能力，同时在练习过程中发现学生存在的问题，及时进行反馈和纠正。

四、教学过程

（一）导入新课（5分钟）

1.展示问题

泰姬陵是世界七大奇迹之一，传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见图），你知道这个图案一共用了多少颗宝石吗？

2.引导学生分析问题

这是一个求等差数列前\(100\)项和的问题。

提问学生如何计算\(1+2+3+\cdots+100\)的和。

3.引出课题

今天我们就来学习等差数列前\(n\)项和的计算方法，板书课题：等差数列前\(n\)项和。

（二）讲解新课（25分钟）

1.等差数列前\(n\)项和公式的推导

设等差数列\(\{a_{n}\}\)的首项为\(a_{1}\)，公差为\(d\)，前\(n\)项和为\(S_{n}\)，即\(S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n}\)。

我们可以把\(S_{n}\)写成：\(S_{n}=a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+\cdots+[a_{1}+(n1)d]\)①

再把\(S_{n}\)倒过来写：\(S_{n}=a_{n}+(a_{n}d)+(a_{n}2d)+\cdots+[a_{n}(n1)d]\)②

这里\(a_{n}=a_{1}+(n1)d\)。

将①+②得：

\[

\begin{align*}

2S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{1}+d+a_{n}d)+(a_{1}+2d+a_{n}2d)+\cdots+[a_{1}+(n1)d+a_{n}(n1)d]\\

2S_{n}=n(a_{1}+a_{n})\\

S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}

\end{align*}

\]

又因为\(a_{n}=a_{1}+(n1)d\)，所以\(S_{n}=na_{1}+\frac{n(n1)}{2}d\)。

2.公式讲解

公式一：\(S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}\)

其中\(n\)表示项数，\(a_{1}\)表示首项，\(a_{n}\)表示末项。这个公式反映了等差数列前\(n\)项和与首项、末项及项数之间的关系。

公式二：\(S_{n}=na_{1}+\frac{n(n1)}{2}d\)

其中\(n\)表示项数，\(a_{1}\)表示首项，\(d\)表示公差。这个公式是从等差数列的通项公式出发，通过推导得到的，它直接体现了前\(n\)项和与首项、公差及项数的关系。

强调两个公式的特点及适用情况：

公式一适用于已知首项、末项和项数的情况。

公式二适用于已知首项、公差和项数的情况。

（三）例题讲解（20分钟）

1.例1

已知等差数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=1\)，\(a_{n}