2025届高中数学微专题06期望方差1练习含解析.docxVIP

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微专题（6）离散型随机变量的期望与方差

一、期望与方差的性质

X

1

2

3

4

5

P

0.1

0.2

b

0.2

0.1

例1.(1)已知随机变量X的分布列如右表所示:

则E(3X-4)的值等于().

A.2 B.3 C.4 D.5

(2)(本题为多项选择题)已知X的分布列为

X

-1

0

1

P

1

1

1

则下列结论正确的是().

A.E(X)=-13 B.D(X)=2327C.E(|X|)=2

(3)已知随机变量ξ~B(n,p),若E(ξ)=3,D(ξ)=32,则D(nξ-1)=()

A.54 B.9 C.18 D.27

(4)袋子A中装有若干个匀称的红球和白球,从A中有放回地摸球,每次摸出一个,摸出一个红球的概率是13,有3次摸到红球即停止.记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ,则ξ的数学期望E(ξ)=()

A.13181 B.14381 C.433243

二、期望与方差的计算

例2.(2024年8省市模考,T19)一台设备由三个部件构成,假设在一天的运转中,部件1,2,3须要调整的概率分别为0.1,0.2,0.3,各部件的状态相互独立.

(1)求设备在一天的运转中,部件1,2中至少有一个须要调整的概率;

(2)记设备在一天的运转中须要调整的部件个数为X,求X的分布列及数学期望.

例3．已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采纳分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．

(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？

(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠足够，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望.

三、实际问题中期望与方差的计算

例4.某投资公司在2024年年初打算将1000万元投资到“低碳”项目上,现有两个项目可供选择:

项目一:新能源汽车,据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利40%,也可能亏损10%,且这两种状况发生的概率分别为35和2

项目二:通信设备,据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利50%,可能损失30%,也可能不赔不赚,且这三种状况发生的概率分别为35,13和

针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由.

课后作业

ξ

1

2

3

4

P

1

1

1

m

1.已知ξ的分布列如右图，设η=2ξ-5,则E(η)=().

A.12 B.13 C.23

2.口袋中有编号分别为1,2,3的3个大小和形态相同的小球,从中任取2个,则取出的球的最大编号X的期望为().

A.13 B.23 C.2 D

3.已知某7个数的期望为6,方差为4,现又加入一个新数据6,此时这8个数的期望记为E(X),方差记为D(X),则().

A.E(X)=6,D(X)4 B.E(X)=6,D(X)4C.E(X)6,D(X)4 D.E(X)6,D(X)4

4.(本题为多项选择题)设0p1,随机变量ξ的分布列如图，则当p在(0,1)内增大时,下列说法正确的是().

A.q=p2 B.p=q2C.D(ξ)先减小后增大D.D(

ξ

0

1

2

P

1-p

1

q

ξ

0

1

2

3

P

0.1

a

b

0.1

（第5题图）

（第4题图）

5.若随机变量ξ的分布列如下表所示,E(ξ)=1.6,a-b=.?

6.我国脱贫攻坚经过8年奋斗，取得了重大成功．为巩固脱贫攻坚成果，某项目组对某种农产品的质量状况进行持续跟踪，随机抽取了10件产品，检测结果均为合格，且质量指标分值如下：

．

经计算知上述样本质量指标平均数为，标准差为．生产合同中规定：全部农产品优质品的占比不得低于(已知质量指标在63分以上的产品为优质品)．从这10件农产品中有放回地连续取两次，记两次取出优质品的件数为，

求的分布列、数学期望和方差.

7.已知6名某疾病病毒亲密接触者中有1名感染病毒,其余5名未感染,须要通过化验血液来确定感染者.血液化验结果呈阳性的即为感染者,呈阴性的即为未感染者.

(1)若从这6名亲密接触者中随机抽取2名,求抽到感染者的概率.

(2)血液化验确定感染者的方法:方法一是逐一化验;方法二是平均分组混合化验,先将血液样本平均分成若干组,对组内血液混合化验,若化验结果呈阴性,则该组血液不含病毒,若化验结果呈阳性,则对该组的备份血液逐一化验,直至确定感染者.

①实行逐一化验,求所需化验次数ξ的分布列及数学