2024_2025学年新教材高中数学第十章三角恒等变换10.2二倍角的三角函数课后素养落实含解析苏教版必修第二册.docVIP

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课后素养落实(十四)二倍角的三角函数

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．sin10°sin50°sin70°＝()

A．eq\f(1,2)B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,8)D．eq\f(1,16)

C[sin10°sin50°sin70°＝sin10°cos40°cos20°＝eq\f(sin10°cos10°cos20°cos40°,cos10°)＝eq\f(\f(1,8)sin80°,cos10°)＝eq\f(1,8)．]

2．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))，则cos2α＝()

A．1B．－1C．eq\f(1,2)D．0

D[因为sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))，所以eq\f(1,2)cosα－eq\f(\r(3),2)sinα＝eq\f(\r(3),2)cosα－eq\f(1,2)sinα，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(\r(3),2)))sinα＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(\r(3),2)))cosα，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－1，所以cos2α＝cos2α－sin2α＝eq\f(cos2α－sin2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(1－tan2α,tan2α＋1)＝0，故选D．]

3．设cos2θ＝eq\f(\r(2),3)，则cos4θ＋sin4θ＝()

A．eq\f(1,3)B．eq\f(4,9)C．eq\f(11,18)D．eq\f(13,18)

C[cos4θ＋sin4θ＝(cos2θ＋sin2θ)2－2cos2θsin2θ＝1－eq\f(1,2)sin22θ＝1－eq\f(1,2)(1－cos22θ)

＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)cos22θ＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(11,18)．]

4．若tanθ＋eq\f(1,tanθ)＝4，则sin2θ＝()

A．eq\f(1,2)B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(3),2)D．eq\f(2,3)

A[由tanθ＋eq\f(1,tanθ)＝eq\f(sinθ,cosθ)＋eq\f(cosθ,sinθ)＝eq\f(1,sinθcosθ)＝4，

得sinθcosθ＝eq\f(1,4)，则sin2θ＝2sinθcosθ＝2×eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)．]

5．若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，且sin2α＋cos2α＝eq\f(1,4)，则tanα＝()

A．eq\f(\r(3),3)B．1C．eq\f(4,3)D．eq\r(3)

D[∵sin2α＋cos2α＝eq\f(1,4)，

∴sin2α＋cos2α－sin2α＝eq\f(1,4)，

∴cos2α＝eq\f(1,4)．

又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，

∴cosα＝eq\f(1,2)，sinα＝eq\f(\r(3),2)．∴tanα＝eq\r(3)．]

二、填空题

6．已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝eq\f(1,2)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(α,2)))＝－eq\f(1,3)，则tan(α＋β)＝________．

eq\f(7,24)[∵taneq\f(α＋β,2)＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(α,2)))))

＝eq\f(tan\b\lc\(\rc\)(\a