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高中数学竞赛讲义选编

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§1抽屉原理

在数学问题中有一类与“存在性”有关的问题，例如：“13个人中至少有两个人出生在相同

月份”；“某校400名学生中，一定存在两名学生，他们在同一天过生日”；“2003个人任意分

成200个小组，一定存在一组，其成员数不少于11”；“把[0，1]内的全部有理数放到100个集

合中，一定存在一个集合，它里面有无限多个有理数”。这类存在性问题中，“存在”的含义是

“至少有一个”。在解决这类问题时，只要求指明存在，一般并不需要指出哪一个，也不需要确

定通过什么方式把这个存在的东西找出来。这类问题相对来说涉及到的运算较少，依据的理论也

不复杂，我们把这些理论称之为“抽屉原理”。

“抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家迪里赫莱（Dirichlet）运用于解决数学问题的，

所以又称“迪里赫莱原理”，也有称“鸽巢原理”的。这个原理可以简单地叙述为“把10个苹果，

任意分放在9个抽屉里，则至少有一个抽屉里含有两个或两个以上的苹果”。这个道理是非常明

显的，但应用它却可以解决许多有趣的问题，并且常常得到一些令人惊异的结果。抽屉原理是国

际国内各级各类数学竞赛中的重要内容，本讲就来学习它的有关知识及其应用。

（一）抽屉原理的基本形式

定理1、如果把n+1个元素分成n个集合，那么不管怎么分，都存在一个集合，其中至少有

两个元素。

证明：（用反证法）若不存在至少有两个元素的集合，则每个集合至多1个元素，从而n个

集合至多有n个元素，此与共有n+1个元素矛盾，故命题成立。

在定理1的叙述中，可以把“元素”改为“物件”，把“集合”改成“抽屉”，抽屉原理正

是由此得名。

同样，可以把“元素”改成“鸽子”，把“分成n个集合”改成“飞进n个鸽笼中”。“鸽

笼原理”由此得名。

例题讲解

1．已知在边长为1的等边三角形内（包括边界）有任意五个点（图1）。证明：至少有两个点

之间的距离不大于

2．从1-100的自然数中，任意取出51个数，证明其中一定有两个数，它们中的一个是另一个

的整数倍。

3．从前25个自然数中任意取出7个数，证明：取出的数中一定有两个数，这两个数中大数不

超过小数的1.5倍。

4．已给一个由10个互不相等的两位十进制正整数组成的集合。求证：这个集合必有两个无公共

元素的子集合，各子集合中各数之和相等。

5．在坐标平面上任取五个整点（该点的横纵坐标都取整数），证明：其中一定存在两个整点，

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它们的连线中点仍是整点。

6．在任意给出的100个整数中，都可以找出若干个数来（可以是一个数），它们的和可被100

整除。

7．17名科学家中每两名科学家都和其他科学家通信，在他们通信时，只讨论三个题目，而且任

意两名科学家通信时只讨论一个题目，证明：其中至少有三名科学家，他们相互通信时讨论的是

同一个题目。

例题答案：

1．分析：5个点的分布是任意的。如果要证明“在边长为1的等边三角形内（包括边界）有

5个点，那么这5个点中一定有距离不大于的两点”，则顺次连接三角形三边中点，即三角形的

三条中位线，可以分原等边三角形为4个全等的边长为的小等边三角形，则5个点中必有2点位

于同一个小等边三角形中（包括边界），其距离便不大于。

以上结论要由定理“三角形内（包括边界）任意两点间的距离不大于其最大边长”来保证，

下面我们就来证明这个定理。

如图2，设BC是△ABC的最大边，P，M是△ABC内（包括边界）任意两点，连接PM，过P分

别作AB、BC边的平行线，过M作AC边的平行线，设各平行线交点为P、Q、N，那么

∠PQN=∠C，∠QNP=∠A

因为BC≥AB，所以∠A≥∠C，则∠QNP≥∠PQN，而∠QMP≥∠QNP≥∠PQN（三角形的外角大

于不相邻的内角），所以PQ≥PM。显然BC≥PQ，故BC≥PM。

由此我们可以推知，边长为的等边三角形内（包括边界）两点间的距离不大于。

说明：

（1）这里是用等分三角形的方法来构造“抽屉”。类似