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5.2相同矩阵
定义1设A,B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵P,使
P1APB,
则称B是A的相似矩阵,或说矩阵A与B相似.对A进
行运算P1AP称为对A进行相似变换,可逆矩阵P
称为把A变成B的相似变换矩阵.
1.等价关系
(1)反身性A与A本身相似.
(2)对称性若A与B相似,则B与A相似.
(3)传递性若A与B相似,B与C相似,
则A与C相似.
111
2.PA1A2PPA1PPA2P.
3.若A与B相似,则Am与Bm相似m为正整数.
111
4.Pk1A1k2A2Pk1PA1Pk2PA2P
其中是任意常数
k1,k2.
定理1若n阶矩阵A与B相似,则A与B的特征多项
式相同,从而A与B的特征值亦相同.
证明A与B相似
可逆阵P,使得P1APB
BEP1APP1EP
P1AEP
P1AEP
AE.
推论若n阶方阵A与对角阵
1
2
n
相似,则1,2,,n即是A的n个特征值.
利用对角矩阵计算矩阵多项式
个
若APBP1,则k
k1k1
APBP1PBP1PBP1PBPPBP.
A的多项式
nn1
(A)a0Aa1Aan1AanE
n1n11
a0PBPa1PBP
11
an1PBPanPEP
nn11
P(a0Ba1Ban1BanE)P
P(B)P1.
特别地,若可逆矩阵P使P1AP为对角矩阵,
则AkPkP1,(A)P()P1.
对于对角矩阵,有
k
1
k
k2
,
利用上
k
n述结论能够
()很以便地计
1
算矩阵A旳
(1)
(),多项式(A).
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