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第三讲有限元的数学力学知识弹性力学中的几何方程弹性力学中的物理方程弹性力学中的平面问题泛函和变分几何方程应变分量与位移分量之间关系的数学表达式物理方程也称本构方程。用来描述岩土的应力与应变之间的关系，对于均质各向同性、处于弹性阶段的岩土体，应力与应变的关系由广义Hooke定理表达。平面问题平面应力问题平面应变问题地壳应力状态属平面应力问题模拟1边坡问题、围岩问题、地基问题、坝基问题、路基问题等属平面应变问题2平面问题平面应变问题几何方程物理方程大部分岩土工程问题是用微分方程的形式来表达的，只有在特定的条件下，这些微分方程才可以求得解析解，正如材料力学和弹性力学中各种问题的解。然而在大量实际工程边界条件下，这些微分方程是无法求得解析解的。数值分析就是寻求这些方程的近似解的方法，变分法是我们求解微分方程近似解的数学基础。在微分方程的变分解中，有两个基本步骤：使一个已知的微分方程成为变分式；使用变分法，如Ritz法、Galerkin法或其他方法求其近似解。泛函与变分变分的发展史变分的发展史变分的发展史在任一铅垂平面中，指定O、M两点，如图所示。要求在两点间连接一条曲线，使得球在重力作用下自O点沿此曲线自由下滑时，所需的时间最短(忽略摩擦力)。以最速降线问题为例解释泛函以最速降线问题为例解释泛函泛函和变分的定义最线降速问题的变分解0102如果实际问题以求泛函的极值提出，可以利用Euler方程获得与其解等价的微分方程，若微分方程可解，问题自然解决了。但这不是我们真正的目的，我们的意图正好相反，大家知道岩土工程中的大量问题是以微分方程的形式表达的，在实际边界条件下很难求解。因此试图找到一个微分方程的泛函，取泛函的变分为零，也就是得到其变分式，再用变分法求其近似解。但不是所有微分方程都存在这样一个泛函。因此首先我们将微分方程变为等效积分形式，再分析它与其相应泛函之间的关系。现以梁的弹性弯曲为例来说明。清华大学王勖成，邵敏编著《有限单元法基本原理和数值方法》开篇讲微分方程的等效积分形式和加权余量法岩土工程中的变分问题作业网上检索关于数学或力学来源于生活又应用于生活的事例（故事）；列举出地质工程中用到的数学、力学原理。（如虎克定律，文克尔模型，布辛奈斯克解，高斯积分等），并说明它们的含意或用图。毕达哥拉斯（公元前572-500）是古代著名的哲学家和数学家，毕达哥拉斯教团的创始人.01他们认为，大于1的奇数象征男性，偶数象征女性，5是第一个男性数与女性数之和，因此象征结婚与结合。02他们发现完全数，完全数就是等于它的真因数之和的数，如6的真因数是1、2、3，而6=1+2+3，数6就变为完美的象征。28也是完全数。目前只发现34个完全数，全是偶数，同时也只发现34个素数，其中最大的21257786-1）。03自然数的研究