2024_2025学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆及其标准方程课后巩固提升含解析新人教A版选修2_1.docxVIP

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其次章圆锥曲线与方程

2.2椭圆

2.2.1椭圆及其标准方程

课后篇巩固提升

1.已知方程=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数k的取值范围是()

A.(4,10) B.(7,10)

C.(4,7) D.(4,+∞)

解析依题意有k-410-k0,解得7k10.

答案B

2.中心在原点,焦点在坐标轴上,且过两点(4,0),(0,2)的椭圆方程为()

A.=1 B.=1

C.=1 D.=1

解析(方法一)验证解除,将点(4,0)代入验证可解除A,B,C,故选D.

(方法二)设椭圆方程为mx2+ny2=1(m0,n0),

则解得故选D.

答案D

3.已知椭圆=1的一个焦点为(0,2),则m的值为()

A.1 B.3 C.5 D.8

解析因为=1,椭圆的一个焦点为(0,2),

所以椭圆的焦点在y轴上,所以a2=2m,b2=6.

因为c2=a2-b2=2m-6=4,所以m=5.故选C.

答案C

4.△ABC的周长是8,B(-1,0),C(1,0),则顶点A的轨迹方程是()

A.=1(x≠±3) B.=1(x≠0)

C.=1(y≠0) D.=1(y≠0)

解析∵△ABC的两顶点B(-1,0),C(1,0),周长为8,

∴BC=2,AB+AC=6,∴62,点A到两个定点的距离之和等于定值,∴点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆(不包含左右两端点),且2a=6,c=1,b=2,

∴椭圆的标准方程是=1(x≠±3).故选A.

答案A

5.已知F1,F2分别为椭圆=1的左、右焦点,直线l过点F1,且与椭圆交于A,B两点,则△AF2B的周长为()

A.10 B.12 C.16 D.20

解析由椭圆=1可得a=5,△AF2B的周长=|AF2|+|BF2|+|AB|,|AB|=|AF1|+|BF1|,所以△AF2B周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|,

由椭圆的定义知,|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=10,所以△AF2B周长=4a=20.故选D.

答案D

6.设椭圆=1过点(-2,),那么焦距等于.?

解析因为椭圆=1过点(-2,),

所以m2=16,则c2=16-4=12,故焦距2c=4.

答案4

7.已知椭圆的焦点是F1(-1,0),F2(1,0),P是椭圆上的一点,若|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项,则该椭圆的标准方程是.?

解析由题意得2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,

所以4c=2a.

因为c=1,所以a=2.

所以b2=a2-c2=3.

故椭圆的标准方程为=1.

答案=1

8.若方程=1表示椭圆,则实数m的取值范围是.?

解析依据椭圆标准方程的形式,可知方程=1表示椭圆的条件是解得1m7且m≠4,所以实数m的取值范围是(1,4)∪(4,7).

答案(1,4)∪(4,7)

9.已知椭圆的中心在原点,且经过点P(3,0),a=3b,求椭圆的标准方程.

解当焦点在x轴上时,设其标准方程为=1(ab0),

由椭圆过点P(3,0),知=1.

又a=3b,解得b2=1,a2=9,

故椭圆的方程为+y2=1.

当焦点在y轴上时,设其标准方程为=1(ab0).

由椭圆过点P(3,0),知=1.

又a=3b,联立解得a2=81,b2=9,故椭圆的方程为=1.

故椭圆的标准方程为=1或+y2=1.

10.求适合下列条件的椭圆的标准方程:

(1)两个焦点分别为(0,-2),(0,2),经过点(4,3);

(2)经过两点(2,-),.

解(1)(方法一)因为椭圆的焦点在y轴上,

所以可设它的标准方程为=1(ab0).

由椭圆的定义知2a==12,

所以a=6.

又c=2,所以b==4.

所以椭圆的标准方程为=1.

(方法二)因为椭圆的焦点在y轴上,

所以可设其标准方程为=1(ab0).

由题意得解得

所以椭圆的标准方程为=1.

(2)(方法一)若椭圆的焦点在x轴上,

设椭圆的标准方程为=1(ab0).

由已知条件得解得

所以所求椭圆的标准方程为=1.

同理可得,焦点在y轴上的椭圆不存在.

综上,所求椭圆的标准方程为=1.

(方法二)设椭圆的一般方程为Ax2+By2=1(A0,B0,A≠B).

将两点(2,-),代入,

得解得

所以所求椭圆的标准方程为=1.

11.

(选做题)如图所示,△ABC的底边BC=12,其他两边AB和AC上中线的和为30,求此三角形重心G的轨迹方程,并求顶点A的轨迹方程.

解以BC边所在直线为x轴,BC边中点为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,

则B(6,0),C(-6,0),CE,BD为AB,AC边上的中线,

则|BD|+|CE|=30.

由重心性质可知,|GB|