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用向量法求二面角的平面角教案

??##一、教学目标

1.知识与技能目标

理解二面角的概念，掌握用向量法求二面角平面角的方法。

能够熟练运用向量的数量积公式计算二面角的大小。

2.过程与方法目标

通过向量法求解二面角，培养学生的逻辑推理能力和运算能力。

经历从传统方法到向量法求解二面角的过程，体会向量法的优势，提升学生的数学思维能力。

3.情感态度与价值观目标

通过向量法在立体几何中的应用，让学生感受数学的严谨性和简洁性，激发学生学习数学的兴趣。

培养学生勇于探索、敢于创新的精神，提高学生的数学素养。

##二、教学重难点

1.教学重点

用向量法求二面角平面角的原理和步骤。

向量的数量积公式在求解二面角中的应用。

2.教学难点

确定两个平面的法向量。

根据法向量的方向正确判断二面角与向量夹角的关系。

##三、教学方法

讲授法、讨论法、练习法相结合，引导学生自主探究与合作交流。

##四、教学过程

（一）复习导入（5分钟）

1.提问

什么是平面角？

如何用传统方法求二面角的平面角？

2.回顾

请学生回答平面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。在二面角\(\alphal\beta\)的棱\(l\)上任取一点\(O\)，以点\(O\)为垂足，在半平面\(\alpha\)和\(\beta\)内分别作垂直于棱\(l\)的射线\(OA\)和\(OB\)，则射线\(OA\)和\(OB\)构成的\(\angleAOB\)叫做二面角的平面角。

教师通过多媒体展示传统方法求二面角平面角的过程，强调其关键在于找到二面角的棱，并在两个半平面内作出垂直于棱的射线。同时指出传统方法有时需要较强的空间想象力和逻辑推理能力，对于一些复杂图形求解较困难。引出本节课将学习用向量法求二面角的平面角，使问题求解更具一般性和规律性。

（二）新课讲授（20分钟）

1.二面角的向量求法原理

设二面角\(\alphal\beta\)的大小为\(\theta\)，平面\(\alpha\)的法向量为\(\overrightarrow{n_1}\)，平面\(\beta\)的法向量为\(\overrightarrow{n_2}\)。

当二面角\(\alphal\beta\)为锐角时，\(\cos\theta=\vert\cos\langle\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}\rangle\vert\)；当二面角\(\alphal\beta\)为钝角时，\(\cos\theta=\vert\cos\langle\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}\rangle\vert\)。

这里\(\langle\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}\rangle\)表示两法向量的夹角。

教师结合图形详细讲解上述原理，通过动画演示让学生直观感受二面角与法向量夹角之间的关系。并强调判断二面角是锐角还是钝角的重要性，这将直接影响到最后结果的正确性。

2.求平面法向量的方法

设平面法向量：设平面\(\alpha\)的法向量为\(\overrightarrow{n}=(x,y,z)\)。

建立方程：

若已知平面\(\alpha\)内两不共线向量\(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1,z_1)\)，\(\overrightarrow{b}=(x_2,y_2,z_2)\)，则由\(\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{a}=0\)且\(\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{b}=0\)，可得方程组\(\begin{cases}x_1x+y_1y+z_1z=0\\x_2x+y_2y+z_2z=0\end{cases}\)。

令\(x\)（或\(y\)或\(z\)）为一个非零常数，代入方程组求解出\(y\)与\(z\)的值，从而得到平面的法向量。

教师举例说明求法向量的具体过程。例如，已知平面\(\alpha\)内有向量\(\overrightarrow{a}=(1,1,0)\)，\(\overrightarrow{b}=(0,1,1)\)，设平面\(\alpha\)的法向量\(\overrightarrow{n}=(x,y,z)\)。

由\(\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{a}=0\)可得\(x+y=0\)