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用向量法求异面直线所成的角教案

??一、教学目标

1.知识与技能目标

让学生理解异面直线所成角的概念，掌握用向量法求异面直线所成角的方法。

能够运用向量法解决一些简单的立体几何问题，计算异面直线所成的角。

2.过程与方法目标

通过观察、分析、类比等方法，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。

经历向量法求异面直线所成角的过程，体会向量工具在立体几何中的应用，提高学生运用向量解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标

激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。

让学生体会数学的严谨性和科学性，感受数学在解决实际问题中的重要作用，增强学生学习数学的自信心。

二、教学重难点

1.教学重点

异面直线所成角的概念。

用向量法求异面直线所成角的步骤和方法。

2.教学难点

如何将异面直线所成角转化为向量的夹角，并根据向量夹角的余弦值求异面直线所成角的大小。

理解向量夹角与异面直线所成角的关系，特别是当向量夹角为钝角时，异面直线所成角应取其补角。

三、教学方法

1.讲授法：讲解异面直线所成角的概念、向量法求异面直线所成角的原理和步骤，使学生系统地掌握知识。

2.讨论法：组织学生讨论向量夹角与异面直线所成角的关系，以及在解题过程中可能遇到的问题，促进学生积极思考，培养学生的合作交流能力。

3.练习法：通过课堂练习和课后作业，让学生巩固所学知识，提高运用向量法求异面直线所成角的能力。

四、教学过程

（一）导入新课（5分钟）

1.复习回顾

提问学生空间向量的相关知识，如向量的加法、减法、数量积运算等。

让学生回忆异面直线的定义，引导学生思考如何度量异面直线所成的角。

2.情境引入

展示一些含有异面直线的立体图形，如正方体、三棱锥等，让学生观察异面直线的位置关系。

提出问题：在这些图形中，如何确定异面直线所成角的大小呢？有没有一种通用的方法来解决这个问题？从而引出本节课的主题用向量法求异面直线所成的角。

（二）讲解新课（25分钟）

1.异面直线所成角的概念

结合图形，详细讲解异面直线所成角的定义：已知两条异面直线\(a\)，\(b\)，经过空间任一点\(O\)作直线\(a\parallela\)，\(b\parallelb\)，把\(a\)与\(b\)所成的锐角（或直角）叫做异面直线\(a\)与\(b\)所成的角（或夹角）。

强调异面直线所成角的范围是\((0,\frac{\pi}{2}]\)。

通过实例，让学生判断一些异面直线所成角的大小，加深对概念的理解。

2.向量法求异面直线所成角的原理

设异面直线\(a\)，\(b\)的方向向量分别为\(\overrightarrow{m}\)，\(\overrightarrow{n}\)，则异面直线\(a\)与\(b\)所成的角\(\theta\)与向量\(\overrightarrow{m}\)，\(\overrightarrow{n}\)的夹角\(\langle\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}\rangle\)（\(0\leq\langle\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}\rangle\leq\pi\)）之间的关系为：

\(\cos\theta=|\cos\langle\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}\rangle|=\frac{|\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|\cdot|\overrightarrow{n}|}\)

向学生解释为什么可以通过向量的夹角来求异面直线所成的角，引导学生理解向量法求异面直线所成角的本质是将空间几何问题转化为向量运算问题。

3.向量法求异面直线所成角的步骤

第一步：建立空间直角坐标系（如果题目中没有给出合适的坐标系，需要根据已知条件合理建立）。

第二步：确定异面直线的方向向量。分别找出两条异面直线上的两个非零向量，作为它们的方向向量\(\overrightarrow{m}\)，\(\overrightarrow{n}\)。

第三步：计算向量的数量积\(\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}\)以及向量的模\(|\overrightarrow{m}|\)，\(|\overrightarrow{n}|\)。

第四步：根据公式\(\cos\theta=\frac{|\overrightarrow{m}\cdot\overrightarr