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例题

1．已知直线与双曲线交于、点。

（1）求的取值范围；

（2）若以为直径的圆过坐标原点，求实数的值；

（3）是否存在这样的实数，使、两点关于直线对称？若存在，

请求出的值；若不存在，说明理由。

解：（1）由消去，得（1）

依题意即且（2）

（2）设，，则

∵以AB为直径的圆过原点∴∴

但

由（3）（4），，

∴解得且满足（2）

（3）假设存在实数，使A、B关于对称，则直线与垂直

∴，即直线的方程为

将代入（3）得

∴AB中点的横坐标为2纵坐标为

但AB中点不在直线上，即不存在实数，使A、B关于直线对称。

2.双曲线的渐近线为，则离心率为

点拨：当焦点在x轴上时，，；当焦点在y轴上时，，

3某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m.试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/s:相关各点均在同一平面上)

【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的．

[解析]如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）

设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|－|PA|=340×4=1360

由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上，ABCP

A

B

C

P

O

x

y

依题意得a=680,c=1020，

用y=－x代入上式，得，∵|PB||PA|,

答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.

【名师指引】解应用题的关键是将实际问题转换为“数学模型”

4设P为双曲线上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：|PF2|=3：2，则△PF1F2的面积为 （）

A． B．12 C． D．24

解析：①

又②

由①、②解得

直角三角形，

故选B。

5如图2所示，为双曲线的左

焦点，双曲线上的点与关于轴对称，

则的值是（）

A．9B．16C．18D．27

[解析]，选C

6.P是双曲线左支上的一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c，则的内切圆的圆心的横坐标为（）

（A） （B） （C） （D）

［解析］设的内切圆的圆心的横坐标为，

由圆的切线性质知，

7，若椭圆与双曲线有相同的焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是（）

A.B.C.D.

【解析】椭圆的长半轴为

双曲线的实半轴为

，故选A.

求双曲线的标准方程

1已知双曲线C与双曲线－=1有公共焦点，且过点（3，2）.求双曲线C的方程．

【解题思路】运用方程思想，列关于的方程组

[解析]解法一：设双曲线方程为－=1.由题意易求c=2.

又双曲线过点（3，2），∴－=1.

又∵a2+b2=（2）2，∴a2=12，b2=8.

故所求双曲线的方程为－=1.

解法二：设双曲线方程为－＝1，

将点（3，2）代入得k=4，所以双曲线方程为－＝1.

2.已知双曲线的渐近线方程是，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为；

[解析]设双曲线方程为，

当时，化为，，

当时，化为，，

综上，双曲线方程为或

3.以抛物线的焦点为右焦点,且两条渐近线是的双曲线方程为___________________.

[解析]抛物线的焦点为，设双曲线方程为，，双曲线方程为

4.已知点，，，动圆与直线切于点，过、与圆相切的两直线相交于点，则点的轨迹方程为

A．B．

C．（x0）D．

[解析]，点的轨迹是以、为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，选B

与渐近线有关的问题

1若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为（）

A. B. C. D.

【解题思路】通过渐近线、离心率等几何元素，沟通的关系

[解析]焦点到渐近线的距离等于实轴长，故，,所以

【名师指引】双曲线的渐近线与离心率存在对应关系,通过的比例关系可以求离心率,也可以求渐近线方程

2.双曲线的渐近线方程是