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反比例函数讲义

知识点

一、反比例函数的定义：函数(为常数，)叫做反比例函数，其中叫做比例系数，是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.

二、反比例函数图象的性质

反比例函数(为常数，)的图像是双曲线；

（1）当时，函数图像的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，随的增大而减小；

（2）当时，函数图像的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，随的增大而增大.

三、“反比例函数与几何综合”的思想流程：

注：（1）“关键点”是信息汇聚点，通常是几何图形和函数图像的交点。

（2）与反比例函数相关的几个结论，在解题时可以考虑调用。

结论：AB=CD

一、反比例函数的定义及解析式的确定

下列关于的函数中：①；②；③；④中，一定是反

比例函数的有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

若函数是反比例函数，则的值为（）．

A．为任意实数B．C．D．

【巩固】已知是关于的反比例函数，求的值及函数的解析式．

二、反比例函数的图象分布及增减性

【例1】已知，，则函数与在同一坐标系中的图象

不可能是()

【例2】已知，且反比例函数的图象在每个象限内，随的增大而增大，

如果点（，）在双曲线上，则．

三、与反比例函数有关的面积不变性

如图，在中，点是直线与双曲线

在第一象限的交点，且，则的值是_____.

如图，正比例函数和()的图像与反比例函数()的图像

分别相交于点和点．若和的面积分别为和，则与的关系是（）

A．B．=C．D．不能确定

在平面直角坐标系中，函数(，常数)的图象经过点(1，2)，(，

)，()，过点作轴的垂线，垂足为．若的面积为2，求点的坐标．

【巩固】如图，已知正方形的面积为9，点为坐标原点，点在轴上，点在

轴上，点在函数(，)的图像上，点(，)为其双曲线上的任一点，过

点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，并设矩形和正方形不重

合部分的面积为．⑴求点的坐标和的值；⑵当时，求点坐标；⑶写出关

于的函数关系式．

过原点作直线交双曲线()于点、，过、分别作两坐标轴的平行

线，围成矩形，如图所示．⑴知矩形的面积等于8，求双曲线的解析式；

⑵若已知矩形的周长为8，能否由此确定双曲线的解析式?如果能够确定，请予求出；如果不能确定，试说明原因．

四、反比例函数与一次函数综合

直线()与双曲线交于，

两点，求的值.

在平面直角坐标系中，直线向上平移1个单位长度得到直线．直线与

反比例函数的图象的一个交点为，则的值等于．

【巩固】如图，直线与双曲线交于点．将直线向右平移个

单位后，与双曲线交于点，与轴交于点，若，则_________．

五、反比例函数与几何综合

已知点(，)在函数()的图像上，矩形的边在轴上，是对角线

的中点，函数()的图像经过、两点，若，求点的坐标.

如图，、都是等腰直角三角形，点、在函数()的图像上，斜

边、、都在轴上，求点的坐标.

如图，是函数()图象上一点，直线交轴于点，交轴于点，

轴于，交于，轴于，交于.求的值.

已知：等腰三角形在直角坐标系中的位置如图，点的坐标为，点的坐标

为．（1）若三角形关于轴的轴对称图形是三角形，请直接写出、的对称点、的坐标；（2）若将三角形沿轴向右平移个单位，此时点恰好落在反比例函数的图像上，求的值；（3）若三角形绕点按逆时针方向旋转度()．当=时点恰好落在反比例函数的图像上，求的值．

两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，

轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点，当点在的图象上运动时，以下结论：①与的面积相等；②四边形的面积不会发生变化；③与始终相等；④当点是的中点时，点一定是的中点．其中一定正确的是

（把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分）．

拓展练习：两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，动点

在的图象上，轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点．⑴求证：四边形的面积是定值⑵当时，求的值；⑶若点的坐标为，的面积分别记为、，设．①求的值；②当为何值时，有最大值，最大值为多少？

如图，反比例函数的图象过矩形的顶点，、分别在轴、轴的正半

轴上，．（1）设矩形的对角线交于点，求出点的坐标；（2）若直线平分矩形面积，求的值．

若一次函数和反比例函数的图象都经过点（1，1）．

（1）求反比例函数的解析式；（2）已知点在第三象限，且同时在两个函数的图象上，求点的坐标；

（3）利用（2）的结果，若点的坐标为（2，0），