北京理工大学《复变函数与数理方程》2021-2022学年第一学期期末试卷.docVIP

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北京理工大学《复变函数与数理方程》

2021-2022学年第一学期期末试卷

题号

一

二

三

四

总分

得分

一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、求定积分的值。（）

A.0B.1C.D.2

2、判断函数f(x)=xsin(1/x)，当x≠0；f(x)=0，当x=0，在x=0处的连续性和可导性（）

A.连续且可导；B.连续但不可导；C.不连续但可导；D.不连续且不可导

3、级数的和为（）

A.

B.

C.

D.

4、求定积分的值是多少？定积分的计算。（）

A.0B.1C.2D.3

5、若，，则等于（）

A.

B.

C.

D.

6、设函数f(x)在区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1。对于任意实数c，在(0,1)内是否存在一点ξ，使得f(ξ)=c？（）

A.一定存在B.不一定存在C.肯定不存在D.无法确定

7、若向量，向量，且向量与向量垂直，则的值是多少？（）

A.2B.C.D.-2

8、设函数，则函数的单调递减区间是多少？（）

A.B.和C.D.

9、若的值为（）

A.

B.

C.

D.

10、已知向量，向量，向量，求向量的模是多少？向量的运算和模的计算。（）

A.B.C.D.

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）

1、计算极限的值为____。

2、若函数在区间上的最大值为20，则的值为____。

3、已知函数，则在点处沿向量方向的方向导数为____。

4、求极限的值为____。

5、曲线在点处的切线方程为_____________。

三、证明题（本大题共3个小题，共30分)

1、（本题10分）设函数在上可导，，且当时，。证明：当时，。

2、（本题10分）设函数在[a,b]上连续，在内可导，且，。证明：方程在内有且仅有一个根。

3、（本题10分）已知函数在区间[a,b]上连续，且，。证明：在内至少存在两个不同的点，使得。

四、解答题（本大题共2个小题，共20分)

1、（本题10分）有一圆锥形容器，底面半径为，高为。现在以恒定的速度向容器内注水，求水面高度关于时间的函数关系。

2、（本题10分）设函数，求曲线在点处的切线方程。