数理方程与特殊函数(钟尔杰)数理方程复习.pptVIP

*/24*/24《数理方程》复习偏微分方程的数学模型二阶偏微分方程分类化简及求通解分离变量法和固有值问题达朗贝尔公式及其应用付里叶变换定义及性质几种特殊区域的格林函数贝塞尔方程和贝塞尔函数???????Ex1.长为L,密度为的底半径为R的均匀圆锥杆(轴线水平)作纵振动,锥的顶点固定在x=0处。导出此杆的振动方程解:在x处,半径r(x)=Rx/L,取dx微元ux为相对伸长率,Y是杨氏模量由牛顿第二定律,得二阶偏微分方程分类1.若a122–a11a220,称微分方程为双曲型的3.若a122–a11a220,称微分方程为椭圆型的2.若a122–a11a22=0,称微分方程为抛物型的称a122–a11a22为判别式a11uxx+2a12uxy+a22uyy+b1ux+b2uy+cu=fuxx+uyy=0utt=a2uxxut=a2uxx双曲型抛物型椭圆型Ex2:x2uxx+2xyuxy+y2uyy=0Ex3.求方程通解:uxx+10uxy+9uyy=0特征方程?y=9x+C1y=x+C2?????01uxx+10uxy+9uyy=0原方程的通解u(x,y)=f(9x–y)+g(x–y)标准方程:?02030405Ex5.求方程的通解Ex7.构造非奇异变换，化简微分方程Ex6.求方程uxx–(4x2)uyy=0的通解Ex4.求方程通解:4uxx+8uxy+3uyy=0固有值问题II01固有值问题III02固有值问题I:固有值问题IV固有值问题V通解:vyEx8.求边值问题的固有值和固有函数01解：当?0时，二阶常微分方程通解为02由边界条件，得B=003所求固有值为04?05固有函数06(n=0,1,2,…)07过三点(0,0),(L/2,h),(L,0)的抛物线作初始位移01n≥102Ex9.03Ex10.用分离变量法求解1Ex11.求解方程2Ex12.求解方程3010203x–at0x–at≥0应用I:达朗贝尔公式Ex13.求解半无界弦定解问题01Ex14.求解半无界弦定解问题02Ex15.求解初值问题:解:令解:取w(x,t)=xet,将u=v+w代入方程及初始条件,得由达朗贝尔公式，得Ex16.求解初值问题u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)Ex17.求解初值问题球坐标变换记三维波动方程01设函数u具有球对称性，即02球对称性导致球面波问题令v=ru,则有所以?*/24*/24*