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研究报告

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高等数学中的数学建模思想浅谈

一、数学建模概述

1.数学建模的定义

数学建模是一种将实际问题转化为数学问题的过程，它通过建立数学模型来揭示事物的内在规律，并在此基础上进行预测和决策。在数学建模中，研究者需要深入理解所研究问题的本质，挖掘问题中的关键因素，并通过数学语言将这些因素描述出来。数学模型可以是静态的，也可以是动态的，可以是连续的，也可以是离散的，其形式多样，包括微分方程、差分方程、积分方程、概率统计模型等。

数学建模的过程通常包括问题分析、模型建立、模型求解和模型验证等几个阶段。在问题分析阶段，研究者需要对问题进行深入的理解，明确问题的目标、约束条件和数据来源。模型建立阶段则是将实际问题转化为数学模型的关键步骤，这一阶段需要运用数学知识和技巧，将实际问题中的各种关系转化为数学关系式。模型求解阶段则是对模型进行求解，以得到问题的解或预测结果。最后，模型验证阶段是对模型的有效性进行检验，确保模型能够正确地反映实际问题。

数学建模是一种综合性很强的学科，它涉及数学、统计学、计算机科学、经济学、管理学等多个领域的知识。在数学建模过程中，研究者不仅需要具备扎实的数学基础，还需要具备良好的逻辑思维能力和创新意识。通过数学建模，研究者能够将复杂的问题简化，揭示问题中的内在规律，为解决实际问题提供有力的理论支持。数学建模的应用范围十分广泛，不仅在经济管理领域发挥着重要作用，在工程技术、生物医学、环境保护等领域也都有着重要的应用价值。

2.数学建模的发展历程

(1)数学建模的起源可以追溯到古希腊时期，当时哲学家和数学家开始尝试用数学方法来解决实际问题。然而，真正意义上的数学建模是在17世纪随着牛顿力学的建立而逐渐形成的。牛顿通过建立微分方程模型来描述物体的运动，这标志着数学建模作为一种科学方法的诞生。

(2)19世纪，数学建模得到了进一步的发展。特别是概率论和统计学的发展，使得数学建模在自然科学和社会科学领域得到了广泛的应用。这一时期，许多著名的数学模型相继出现，如达尔文的物种起源模型、马尔萨斯的种群增长模型等。此外，运筹学的兴起也为数学建模提供了新的工具和方法。

(3)20世纪以来，数学建模进入了一个快速发展的时期。随着计算机技术的飞速进步，数学建模的方法和工具得到了极大的丰富和拓展。现代数学建模不仅涵盖了传统领域，如经济学、生物学、工程学等，还扩展到了新兴领域，如人工智能、大数据分析等。在这一时期，数学建模在解决实际问题中发挥了越来越重要的作用，成为跨学科研究的重要手段。

3.数学建模在高等数学中的应用

(1)在高等数学中，数学建模是理解和应用数学知识的重要途径。通过数学建模，学生可以将抽象的数学概念与实际问题相结合，从而加深对数学原理的理解。例如，在微分方程的学习中，学生可以通过建立微分方程模型来描述和分析自然界和社会生活中的动态变化过程，如种群增长、传染病传播等。

(2)高等数学中的微积分理论为数学建模提供了强大的工具。在建模过程中，微积分可以用来描述系统的连续变化，通过求导和积分，可以分析系统的稳定性和趋势。此外，高等数学中的线性代数知识，如矩阵和向量，也广泛应用于数学建模中，特别是在处理多变量问题、优化问题和线性规划等方面。

(3)在高等数学中，数学建模的应用还体现在解决实际问题的能力培养上。通过数学建模，学生可以学会如何收集数据、分析数据、建立模型以及验证模型。这种能力对于未来的学习和工作都是非常重要的，尤其是在科研、工程、金融等领域，数学建模已经成为解决复杂问题的不可或缺的工具。

二、高等数学中的建模方法

1.微分方程建模

(1)微分方程建模是数学建模中的一个重要分支，它主要研究系统的动态行为。在微分方程建模中，研究者通过建立微分方程来描述系统随时间变化的规律。这些微分方程通常包含自变量、因变量以及它们的导数，它们可以揭示系统在特定条件下的稳定性和演化趋势。例如，在物理学中，牛顿的运动定律可以用微分方程来描述物体的运动轨迹。

(2)微分方程建模广泛应用于生物学、经济学、工程学等多个领域。在生物学中，微分方程可以用来研究种群的增长和衰退，如种群的逻辑斯蒂模型；在经济学中，微分方程可以用来分析市场的供需关系，如经济周期模型；在工程学中，微分方程可以用来模拟电路中的电流变化，如电路微分方程。这些模型不仅有助于理解系统的动态行为，还可以为预测和控制系统提供理论依据。

(3)微分方程建模的过程通常包括以下几个步骤：首先，根据问题的背景和条件，选择合适的微分方程类型；其次，确定方程中的参数和初始条件；然后，对方程进行求解，得到系统的解；最后，对解进行验证和分析，确保模型的有效性和准确性。在求解微分方程时，可以使用解析方法、数值方法或者混合方法。随着计算机技术的发展，数值方法