高中数学人教A版选修2-1同步练习：2.2.2椭圆的简单几何性质.docVIP

第二章椭圆的简单几何性质

一、选择题

1．(2013·山东省潍坊二中期中)如果方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,a＋6)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，那么实数a的取值范围是()

A．(3，＋∞) B．(－∞，－2)

C．(3，＋∞)∪(－∞，－2) D．(3，＋∞)∪(－6，－2)

[答案]D

[解析]由于椭圆的焦点在x轴上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2a＋6，,a＋60，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(?a＋2??a－3?0，,a－6.))解得a3或－6a－2，应选D.

2．假设焦点在y轴上的椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,2)＝1的离心率为eq\f(1,2)，那么m的值为()

A．1 B．eq\f(3,2)

C.eq\r(3) D．eq\f(8,3)

[答案]B

[解析]由题意得a2＝2，b2＝m，∴c2＝2－m，又eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(\r(2－m),\r(2))＝eq\f(1,2)，∴m＝eq\f(3,2).

3．椭圆C1：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1和椭圆C2：eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,25－k)＝1(0k9)有()

A．等长的长轴 B．相等的焦距

C．相等的离心率 D．等长的短轴

[答案]B

[解析]依题意知椭圆C2的焦点在y轴上，对于椭圆C1：焦距＝2eq\r(25－9)＝8，对于椭圆C2：焦距＝2eq\r(?25－k?－?9－k?)＝8，应选B.

4．(2014·大纲全国理，6)椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为eq\f(\r(3),3)，过F2的直线l交C于A、B两点，假设△AF1B的周长为4eq\r(3)，那么C的方程为()

A.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1 B．eq\f(x2,3)＋y2＝1

C.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,8)＝1 D．eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1

[答案]A

[解析]根据条件可知eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3)，且4a＝4eq\r(3)，

∴a＝eq\r(3)，c＝1，b＝eq\r(2)，椭圆的方程为eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.

5．椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1、F2.假设|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，那么此椭圆的离心率为()

A.eq\f(1,4) B．eq\f(\r(5),5)

C.eq\f(1,2) D．eq\r(5)－2

[答案]B

[解析]∵A、B分别为左右顶点，F1、F2分别为左右焦点，∴|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|BF1|＝a＋c，又由|AF1|、|F1F2|、|F1B|成等比数列得(a－c)(a＋c)＝4c2，即a2＝5c2，所以离心率e＝eq\f(\r(5),5

6．A＝{1,2,4,5}，a，b∈A，那么方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1表示焦点在y轴上的椭圆的概率为()

A.eq\f(3,4) B．eq\f(3,8)

C.eq\f(3,16) D．eq\f(1,2)

[答案]B

[解析]∵a，b∈A，∴不同的方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1共有16个．

由题意a2b2，∴a＝1时，b＝2,4,5；a＝2时，b＝4,5；

a＝4时，b＝5，共6个，∴所求概率P＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).

二、填空题

7．(2013·云南省昆明一中月考)椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2eq\r(15)，那么此椭圆的标准方程为________．

[答案]eq\f(y2,16)＋x2＝1

[解析]由，2a＝8,2c＝2eq\r(15)，∴a＝4，c＝eq\r(15)，∴b2＝a2－c2＝16－15＝1，

∴椭圆的标准方程为eq\f(y2,16)＋x2＝1.

8．椭圆的短半轴长为1，离心率0e≤eq\f(\r(3),2).那么长轴长的取值范围为________．

[答案](2,4]

[解析]∵b＝1，∴c2＝a2－1，

又eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－1,a2)＝1－eq\f(1,a2)≤eq\f(3,4)，∴eq\f(1,a2)≥eq\f(1,4)，∴a2≤4，

又∵