新定义四边形 同步练习（含答案）2024-2025学年人教版八年级数学下册.docx

第7节新定义四边形

一、知识梳理

深刻理解新定义四边形的性质，围绕性质完成题目要求.

二、分层练习

1.定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为“勾股四边形”.

(1)在你学过的特殊四边形中，写出两种“勾股四边形”的名称；

(2)如图7-1所示,将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转(60°得到△DBE,连接AD,DC,CE,已知

①求证:△BCE是等边三角形；

②求证:DC

2.如图7-2(a)所示,在四边形ABCD中,若∠A,∠C均为直角,则称这样的四边形为“美妙四边形”.

(1)在“平行四边形、矩形、菱形”中，一定是“美妙四边形”.(填写图形名称)

(2)试证明:C

(3)如图7-2(b)所示,在等腰直角三角形ABC中,AB=AC,∠A=90°,

3.我们定义对角线互相垂直的四边形叫作“垂美四边形”.

如图7-3所示，点E是四边形ABCD内一点，已知BE=EC,AE=ED,∠BEC=∠AED=90

(1)求证：四边形ABCD是“垂美四边形”.

(2)猜想四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系并说明理由.

(3)若.BE=3,AE=4,AB=6,,则CD的长为.

4.定义：有一组邻边相等的凸四边形叫作“等邻边四边形”.

【概念理解】

(1)下列四边形中是“等邻边四边形”的是.

A.矩形B.菱形C.平行四边形D.梯形

(2)如图7-4(a)所示,在四边形ABCD中,若∠ABC=∠BCD,BC∥AD,对角线BD平分∠ABC,则四边形ABCD“等邻边四边形”.(填“是”或“不是”)

【性质探究】

(1)小红画了一个“等邻边四边形”ABCD,如图7-4(b)所示,其中AB=AD,BC=CD.若∠A=80°,∠C=60°,求出∠B,∠D的度数.

(2)如图7-4(c)所示,在“等邻边四边形”ABCD中,∠DAB=60

5.定义：如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么把这条对角线叫作“美妙线”，该四边形叫作“美妙四边形”.

如图7-5所示，在四边形ABDC中，对角线BC平分∠ACD和∠ABD,那么对角线BC为“美妙线”，四边形ABDC为“美妙四边形”.

(1)下列四边形中是“美妙四边形”的有.

A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形

(2)四边形ABCD是“美妙四边形”,AB=3+3,∠BAD=60

6.新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫作“等对角四边形”.

(1)已知:如图7-6(a)所示,四边形ABCD是“等对角四边形”,∠A≠∠C,∠A=60

(2)在探究“等对角四边形”的性质时，小红画了一个“等对角四边形”ABCD，如图7-6(b)所示,其中∠ABC=∠ADC,AB=AD,此时她发现(CB=CD成立，请你证明此结论.

(3)已知:在“等对角四边形”ABCD中,∠DAB=60°,∠ABC=9

7.定义：如果一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，那么把这条对角线叫作这个四边形的“和谐线”，这个四边形叫作“和谐四边形”.

(1)请你写出一个“和谐四边形”：.

(2)如图7-7(a)所示,在四边形ABCD中,AD‖BC,∠A=100

(3)如图7-7(b),在△ABC中，∠A=90°,AB=AC,在平面内找一点D，使得以点A，B，C，D组成的四边形为“和谐四边形”，且满足AD为“和谐线”，AB=BD,请画出草图，并直接写出

8.

【定义理解】

如图7-8(a)所示,在△ABC中,点E是BC的中点,点P是AE的中点,则称CP是△ABC的“双中线”,∠ACB=90°,AC=3,AB=5,则CP=.

【类比探究】

(1)如图7-8(b)所示,点E是菱形ABCD一边上的中点,点P是BE上的中点,则称AP是菱形ABCD的“双中线”.若AB=4,∠BAD=120°,则AP=.

(2)如图7-8(c)所示,AP是矩形ABCD的“双中线”.若AB=4,BC=6,求AP的长.

【拓展应用】

如图7-8(d)所示,AP是平行四边形ABCD的“双中线”.若AB=4,BC=6,∠BAD=120°,求AP的长.

1.(1)解：正方形、矩形、直角梯形均可.

(2)证明:①∵△ABC≌△DBE,

∴BC=BE.

∵∠CBE=