反比例函数解题四大模型.docxVIP

第15节反比例函数解题四大模型

近几年全国各地中考，与反比例函数相关的综合题、压轴题频频出现在试卷中，特别是反比例函数与一次函数的综合题以及反比例函数与几何的综合题，以较为突出的综合性、信息的隐蔽性以及难于找到合适的转化关系而成为许多同学的“解题难点”，问题的根源往往是不能关注有效信息，对反比例函数的性质理解深度不够，不了解相关解题模型。本文对近几年的反比例函数综合题进行梳理，通过典型习题体验信息的提取，解题模型的应用，提高解反比例函数“综合题”的能力。

模型一：坐标特点。关注反比例函数图象上点的坐标特点，利用xy=k构造方程或直接求解。

图1例1．（2014?济宁）如图1，四边形OABC是矩形，ADEF是正方形，点A、D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数的图象上，OA=1，OC=6，则正方形ADEF的边长为.

图1

解析： 函数图象信息问题要注意数形结合，据图形分析可得点B坐标（1，6），设正方形边长为m，则AD=DE=m，则OD=1+m，所以E点坐标为（1+m，m），

再利用反比例函数图象上点的坐标特征得（1+m）?m=6×1，

解得m1=﹣3（舍去），m2=2，

∴正方形ADEF的边长为2．

故答案为2．

点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．求出（或构造）反比例函数图象上点的坐标，利用横纵坐标的积相等（定值k）列方程，是解反比例函数题的一个重要模型。

E图2ABCDxyO例2(2011?武汉)如图2，

E

图2

A

B

C

D

x

y

O

解析：由面积关系和A、B两点坐标入手，分析C、D两点坐标特点，

借助xy=k求解。

∵四边形BCDE的面积是△ABE面积的5倍，

∴平行四边形ABCD的面积是△ABE面积的6倍，如图3，连接BD，

则△ABD的面积是△ABE面积的3倍，△EBD的面积是△ABE面积

E图3ABCDxyOGFM的2倍，可得DE=2AE，过D作DF垂直x轴

E

图3

A

B

C

D

x

y

O

G

F

M

设D（2，m），则C（3，m-2）

∴k=2m=3（m-2），解得m=6，k=12

点评：本题主要考查了反比例函数的定义k=x1y1=x2y2和图形的面积关系，把落脚点放在C、D两点坐标上，注意线段长度点的坐标（数与形）间的转化，设取未知数，表示出C、D两点坐标，利用k=x1y1=x2y2列方程解题。

图4模型二：面积关系。关注反比例函数y=（k为常数，k≠0）中k的几何意义：S矩形ABOC=，S△AOB=（如图4）

图4

例3．如图5，已知点P为反比例函数（x＞0）图象上一点，⊙P交x轴于点O，B，连接OP并延长交⊙P于点A。连接AB交反比例函数图象于点Q，当AP=AQ时，以PQ为对称轴将△APQ翻折得到△CPQ，则△CPQ与△AOB重叠部分的面积是。

xy图5解析：本题求重叠图形的面积，关注反比例函数系数k的几何意义。由OA是⊙P的直径，可得∠OBA=90°，由AP=AQ时，以PQ为对称轴将△APQ翻折得到△CPQ，易证四边形APCQ是菱形，可得PC⊥x轴，设PC，QC分别与x轴相交于点E，F，由k的几何意义可得S△OPE==3，S△OAB=4S△OPE=12。连接OQ，S△OBQ==3

x

y

图5

∴S△AOQ=S△AOB-S△BOQ=12-3=9，S△APQ=S△OPQ=,

∴S△CPQ=，

∵S四边形PQBE=S△OAB-S△OPE-S△APQ=12-3-=

∴S△CPQ=S四边形PQBE

∴S△CEF=S△QBF

由PE⊥x轴，AB⊥x轴，得PE∥AB，发现△CEF≌△QBF

∴EF=BF=OB，

∴S△QBF=S△OBQ=

S重叠=-=

点评：本题考查了反比函数k的几何意义，过图象上的任意一点作x轴、y轴的垂线，所得三角形的面积是|k|，是经常考查的知识点，同时与圆，特殊四边形以及相似等知识综合考查，也体现了数形结合的思想．

练习：（2014?孝感）如图6，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，双曲线y=经过斜边OA的中点C，与另一直角边交于点D．若S△OCD=9，则S△OBD的值为．

图6

图6

解：如图7，过C点作CE⊥x轴，垂足为E．

∵Rt△OAB中，∠OBA=90°，

∴CE∥AB，

∴∠OCE=∠A,∠OEC=∠OBA

∴△OEC∽△OBA，

∵C为Rt△OAB斜边OA的中点，

∴图7．

图7

∵双曲线的解析式是y=，

∴S△BOD=S△COE=k，

∴S△AOB=4S△COE=2k，

由S△AOB﹣S△BOD=S△AO