(五年级)第 15 届中环杯决赛试题解析.docx

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第15届中环杯决赛试题解析(五年级)

一、填空题A(本大题共8小题，每题6分，共48分)：

1.计算：〉=________.

【答案】2

【解答】

31+

31+6+4

〉9〉11+3157

〉

201511

1++

57

99+

99+31

2015

313131++

57

11

1++

57

31〉|1++|(

31〉|1++|

=〉5〉13〉311+1+

=〉

57

=〉31=2

2.老师布置了一些数学回家作业。由于小明基础不好，所以小明收到的题目数量比小王收到的题目数量多20道。若两人收到的题目数量之比为4:3，则小明回家需要完成________道题目。

【答案】80

【解答】设小明收到了4x道题目，则小王收到了3x道题目，根据题意4x-3x=20不x=20，所以小明需要完成4x=4〉20=80道题目。

3.如图，正八边形的边长为1，将其进行下图的切割，切割后灰色部分面积与斜线部分

面积之差为________(大减小)。

BC

B

C

【答案】

【解答】如下图，A,B与C,D抵消，剩下的中间的正方形可以切割为四个等腰直角

三角形，其中三个与灰色部分抵消，留下的一个面积就是

【说明】考察等腰直角三角形用斜边表示的面积公式

A

D

4.在一组英文字母串中，第一个字母串a1=A、第二个字母串a2=B，之后每个字母串

an(n3)都是由an1后面跟着an2的反转构成的。比如a3=a2a1=BA(我们用ai表示ai的反转，就是从右往左读这个字母串得到的结果，比如ABB=BBA、AABA=ABAA)，a4=a3a2=BAB，a5=a4a3=BABAB，a6=a5a4=BABABBAB。那么，这组字母串的前1000个中，有________个是回文字母串(所谓的回文字母串，就是指从左往右读与从右往左读相同，比如ABA、AABAA)

【答案】667

【解答】通过尝试，我们发现只有a3、a6、a9、……、a999不是回文字母串，别的

都是，那么可以直接得到答案：一共只有333个非回文字母串，剩下的1000333=667个都是回文字母串。

接下来严格证明一下(考场上没有时间的话，这部分可以忽略)：

假设an=P，an+1=Q，那么an+2=QP，an+3=QPQ。由于在P两边Q与Q可以保证其回文特性，最后an+3是否为回文字母串就取决于P的情况。如果an=P为回文字母串，那么an+3=QPQ也是回文字母串；如果an=P不是回文字母串，那么an+3=QPQ也不是回文字母串。考虑到a1、a2都是回文字母串，所以a4,a7,…,a1000与a5,a8,…,a998都是回文字母串。而a3=BA不是回文字母串，所以a6,a9,…,a999不是回文字母串。至此，已经证明了前面的猜测。

5.如下左图，七个字母放置在圆中，每次将包含中心圆的三个圆(这三个圆的圆心构成

等边三角形)顺时针旋转120。，这样称为一次操作。比如可以将A,B,D进行旋转，从而B出现在原D的位置(用BD表示这个旋转)，DA，AB。也可以将D,E,F进行旋转(DE，EF，FD)，但是不能将A,D,G或者C,B,E进行旋转。经过若干次操作后，得到下右图。那么，最少需要操作________次。

【答案】3

CA

FDB

EG

EF

BCA

DG

【解答】由于除了G以外，外围的5个圆中的字母位置都变了，而每次操作只能改