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双曲线的基本性质与解题技巧

双曲线的基本性质与解题技巧

双曲线定义：

⑴双曲线的第一定义：平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线

⑵双曲线的第二定义：平面内到一个定点F的距离和到一条定直线的距离比是常数e(e＞1)的点的轨迹叫做双曲线

双曲线的标准方程：

⑴中心在原点、焦点在x轴上的双曲线：

⑵中心在原点、焦点在y轴上的双曲线：

双曲线的基本性质：(以为例)

⑴范围：x≤-a，或x≥a

⑵图像关于x轴、y轴、原点对称，

⑶两顶点是，实轴长为2a，虚轴长为2b。

⑷离心率

⑸渐近线方程为，准线方程是。

【例1】

已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为______；渐近线方程为________。

⑹实轴和虚轴相等的双曲线叫等轴双曲线，记作：，等轴双曲线的离心率，且两条渐近线互相垂直。

⑺与双曲线有共同渐近线的双曲线方程为

⑻以为渐近线的双曲线方程为

⑼点和双曲线的关系：

点P在双曲线内(含焦点)

点P在双曲线上

点P在双曲线外

常见题型：

一、求双曲线标准方程

求双曲线的标准方程常用的方法是待定系数法和轨迹方程法。

基本步骤：

⑴定型(确定它是双曲线)

⑵定位(判断它的中心在原点、焦点在哪条坐标轴上)

⑶定量(建立关于基本量的方程或方程组，解得基本量a，b的值。)

【例2】

一炮弹在某处爆炸，在F1(-5000，0)处听到爆炸声的时间比在F2(5000，0)处晚秒，已知坐标轴的单位长度为1米，声速为340米/秒，爆炸点应在什么样的曲线上，并求爆炸点所在的曲线方程。

【例3】

已知双曲线的离心率为，右准线方程为，求双曲线C的方程。

【例4】

与双曲线有有公共渐近线，且过点的双曲线的标准方程为___________。

二、双曲线的焦半径公式

⑴双曲线上一点的

左焦半径为；

右焦半径为。

⑵双曲线上一点的

下焦半径为，

上焦半径为。

【例5】

(2004重庆)已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率e的最大值为_______。

三、焦点三角形

双曲线上的点与两焦点构成的称作焦点三角形，记

⑴由余弦定理得，，即

⑵

【例6】

P是双曲线上的点，F1、F2是其焦点，双曲线的离心率是，且，若的面积是9，则a＋b的值等于_______。

【例7】

双曲线的左右焦点分别为F1、F2，P在双曲线上，且满足，则的面积为______。

四、“离心率”

突破口：根据题目条件找的关系，从而求出离心率。

【例8】

已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线上，且轴，若，则双曲线的离心率等于()

本讲小结：

1．双曲线的定义及基本性质

2．焦半径、焦点三角形的定义及其应用。

3．离心率的定义及其应用。

练习：

1．双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝_______。

2．与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线方程为_______。

3．已知双曲线的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则最小值为________。

4．求证：等轴双曲线上任一点到中心的距离是它到两焦点的距离的比例中项。

5．在双曲线的一支上有不同的三点，它们与焦点的距离成等差数列，求。