《大学数学基础课件讲解》.pptVIP

*************************************多元函数的概念定义与表示多元函数是指因变量依赖于两个或多个自变量的函数。二元函数可表示为z=f(x,y)，它在几何上对应于三维空间中的一个曲面。定义域与值域多元函数的定义域是自变量取值的集合，通常是n维空间中的一个区域。值域是函数所有可能的输出值集合。极限与连续性多元函数的极限表示为lim(x,y)→(x?,y?)f(x,y)=L，意味着当点(x,y)以任何方式接近点(x?,y?)时，函数值f(x,y)都接近L。函数在一点连续意味着该点的函数值等于该点的极限值。等值线与等值面二元函数f(x,y)的等值线是平面上满足f(x,y)=c的所有点的集合，它提供了函数变化的直观表示。类似地，三元函数的等值面是空间中函数值相等的点集。多元函数是描述复杂系统的数学工具，它将变量之间的关系扩展到高维空间。与一元函数相比，多元函数的分析更为复杂，需要新的概念和工具来处理。在实际应用中，多元函数无处不在：物理学中的势能函数、经济学中的效用函数、统计学中的概率密度函数等都是多元函数的例子。理解多元函数的基本性质是进一步学习多元微积分的基础。偏导数偏导数的定义二元函数f(x,y)对x的偏导数定义为：?f/?x=lim(h→0)[f(x+h,y)-f(x,y)]/h它表示当y保持不变时，f随x变化的变化率。类似地可以定义对y的偏导数?f/?y。几何意义?f/?x表示曲面z=f(x,y)与平面y=y?相交所得曲线在点(x?,y?,f(x?,y?))处的切线斜率。?f/?y表示曲面与平面x=x?相交所得曲线在同一点处的切线斜率。计算方法计算偏导数时，将其他变量视为常数，然后按照一元函数求导法则进行求导。例如，对于f(x,y)=x2y+y3，有?f/?x=2xy，?f/?y=x2+3y2。偏导数是多元函数微分学的基本概念，它描述了函数在各个自变量方向上的变化率。通过偏导数，我们可以理解函数对每个变量的敏感程度，这在分析复杂系统的行为时非常重要。高阶偏导数也有重要应用，如?2f/?x2、?2f/?y?x等。混合偏导数的顺序在大多数情况下是可以交换的（若这些偏导数连续），即?2f/?y?x=?2f/?x?y，这被称为施瓦茨定理（Schwarzstheorem）。全微分全微分定义二元函数f(x,y)的全微分为:df=(?f/?x)dx+(?f/?y)dy其中dx和dy分别是自变量x和y的微小变化量。全微分的几何意义全微分df近似等于函数值的实际增量Δf=f(x+dx,y+dy)-f(x,y)，当dx和dy足够小时。几何上，全微分对应于曲面z=f(x,y)在点(x,y,f(x,y))处的切平面方程中的变化量。应用全微分常用于误差估计与近似计算。如果f为工程测量中的某个参数，x和y为直接测量量，则可通过全微分估计f的测量误差：Δf≈(?f/?x)Δx+(?f/?y)Δy。全微分是多元函数微分学的核心概念，它将一元函数的微分概念推广到多变量情况。通过全微分，我们可以研究函数在所有自变量同时变化时的总体效应，而不仅仅是单一变量变化的效应。全微分的概念对于理解函数的可微性、隐函数的微分以及后续学习多重积分变量替换都有重要意义。在物理和工程应用中，全微分常用于误差分析和灵敏度研究。多元复合函数的求导法则链式法则多元函数复合的导数计算需要链式法则单变量情况z=f(x,y),x=x(t),y=y(t)时，dz/dt=(?z/?x)(dx/dt)+(?z/?y)(dy/dt)多变量情况z=f(x,y),x=x(u,v),y=y(u,v)时，偏导数计算更复杂雅可比矩阵高维复合函数求导可用雅可比矩阵简洁表达4多元复合函数的求导是实际应用中的常见问题，如坐标变换、物理量转换等。链式法则提供了处理这类问题的系统方法，它将复杂的导数分解为多个简单导数的组合。对于z=f(x,y)，x=x(u,v)，y=y(u,v)这种情况，我们可以计算?z/?u=(?z/?x)(?x/?u)+(?z/?y)(?y/?u)和?z/?v=(?z/?x)(?x/?v)+(?z/?y)(?y/?v)。这一公式在处理坐标变换、计算曲面面积等问题中有广泛应用。方向导数与梯度方向导数函数f(x,y)在点P?(x?,y?)处沿单位向量l=(cosα,sinα)的方向导数定义为：D_lf(P?)=lim(t→0)[f(x?+tcosα,y?+tsinα)-f(x?,y?)]/t它表示函数在该点沿特定方向的变化率。梯度函数f(x,y)