人教版八年级数学下册第18章 平行四边形18.2.2菱形 同步培优.docx

18.2.2菱形

一、知识梳理

1.定义

一组邻边相等的平行四边形是菱形.

如图2-1所示,在?ABCD中,若AB=BC,则四边形ABCD是菱形.

2.性质

如图2-2所示,在菱形ABCD中,

(1)边:对边平行且四边相等,即AB∥CD,AD∥BC,且AB=BC=CD=AD;

(2)角:对角相等,邻角互补,即∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC,∠ABC+∠BCD=180°;

(3)对角线：对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分每一组对角，即OA=OC,OB=OD,AC⊥BD,∠BAO=∠DAO=∠BCO=∠DCO,∠ADO=∠CDO=∠ABO=∠CBO;

(4)对称性：中心对称图形，对称中心是对角线的交点，即点O；轴对称图形，对称轴有两条，是两条对角线所在的直线.

3.重要结论

(1)菱形的面积等于底乘高，也等于对角线乘积的一半，即S菱形ABCD=

(2)含60°(或120°)的菱形，连接短对角线，得到两个全等的等边三角形；连接长对角线，得到两个全等的等腰三角形.

如图2-4所示,在菱形ABCD中,若.∠ABC=60°,则△ABC和△ACD

注意：见到含60°(或120°)的菱形，连接对角线.

4.判定

如图2-5所示，四边形ABCD满足下列任意情况时，可判定为菱形.

(1)一组邻边相等的平行四边形是菱形(定义).

∵四边形ABCD是平行四边形,AB=BC,

∴四边形ABCD是菱形.

(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

∵四边形ABCD是平行四边形,AC⊥BD,

∴四边形ABCD是菱形.

(3)四条边都相等的四边形是菱形.

∵AB=BC=CD=AD,

∴四边形ABCD是菱形.

二、分层练习

万丈高楼平地起

1.菱形具有但一般平行四边形不具有的性质是().

A.对角相等B.对边相等

C.对角线互相垂直D.对角线相等

2.如图2-6所示,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E为CD的中点.若OE=2,则菱形的周长为().

A.10

B.12

C.16

D.20

3.如图2-7所示,四边形ABCD是菱形,AC=24,BD=10,则菱形ABCD的边长是().

A.13

B.12

C.26

D.52

4.菱形ABCD如图2-8所示,对角线AC,BD相交于点O.若BD=6,菱形ABCD的面积为24，且点E为AD的中点，则线段OE的长为().

A.2

B.2.5

C.4

D.5

5.如图2-9所示,四边形ABCD为菱形,对角线AC,BD相交于点O,DH⊥AB于点H,连接OH,∠CAD=25°,则∠DHO的度数是().

A.20°

B.25°

C.30°

D.35°

6.如图2-10所示,在菱形ABCD中,点M,N分别在AB,CD上,且.AM=CN,MN与AC相交于点O,连接BO.若∠DAC=35°,则∠OBC的大小为度.

7.如图2-11所示,在菱形ABCD中,AB=5,BD=8,过点D作DE?BA,交BA的延长线于点E，则线段DE的长为().

A.4

B.3

C.

D.24

8.如图2-12所示,若菱形ABCD中,AE垂直平分BC于点E,AE=1cm,则BC的长是().

A.1cm

B.2

C.3cm

D.4cm

9.如图2-13所示,在菱形ABCD中,∠DAB=45°,DE?BC于点E，交对角线AC于点P,过点P作PF⊥CD于点F.若

A.16

B.162

C.32

D.32

10.如图2-14所示,在?ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,添加下列条件不能判定四边形ABCD是菱形的是().

A.AB=BC

B.AC⊥BD

C.AC平分∠DAB

D.AC=BD

11.如图2-15所示，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O,给出下列条件:①AB=AD;②AC=BD;③∠BOC=90°;④∠ABC=∠BCD;⑤∠ADB=∠CDB.其中,能判定四边形ABCD是菱形的条件有().

A.2个

B.3个

C.4个

D.5个

12.如图2-16所示,在平行四边形ABCD中,DB=DA,点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE.

求证：四边形AEBD是菱形.

13.如图2-17所示,在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O