反比例函数与三垂直 同步练习（含答案）2024-2025学年人教版九年级数学下册.docx

反比例函数与三垂直

一、知识梳理

如图9-1和图9-2所示,点B,C,E在同一直线上,AC=CD,AC⊥CD,∠B=∠E=90°,则有△ABC≌△CED,像这样的图形被称为“三垂直”全等模型.

模型构造三步走：

①作一个等腰直角即AC=CD,AC⊥CD;

②作一条过直角顶点的直线l，即过点C作直线BE；

③过直角的两个锐角顶点向直线l作垂线，即过点A，D作AB?BE于点B,DE⊥BE于点E.

【例1】如图9-3所示，正方形ACBE的边长是5,点B，C分别在x轴和y轴的正半轴上,BO=2,ED⊥x轴于点D,ED的中点F在反比例函数y=kx

解：∵正方形ACBE的边长是5

∴BC=BE=

∴OC=

∵∠CBE=90°,

∴∠OBC+∠EBD=90°.

∵∠OBC+∠OCB=90°,

∴∠OCB=∠EBD.

在△OBC和△DEB中,

∵{

∴△OBC≌△DEB(AAS).

∴BD=OC=1,DE=OB=2.

∴OD=3.

∴点E的坐标为(3,2).

∵点F是ED的中点，

∴点F的坐标为(3,1).

∵点F在反比例函数y=k

∴k=3×1=3.

【例2】如图9-4所示，点A，B分别在反比例函数y=2xx

(x0)的图象上,且OA⊥OB,tan∠B=1

解:过点A作AC⊥y轴于点C,过点B作BD⊥y轴于点D,如图9-5所示.

∵AC⊥y轴,BD⊥y轴,OA⊥OB,

∴∠ACD=∠ODB=9

∵∠OAC+∠AOC=90°,∠BOD+∠OBD=90°,

∴∠AOC=∠OBD.

∴△AOC∽△OBD.

∴S

∵反比例函数y=k

∴k0.

∵

∴1

二、分层练习

1.如图9-6所示，点B为反比例函数y=kx(k0,x0)图象上的一点，点A为x轴负半轴上的一点，连接AB，将线段AB绕点A逆时针旋转90°,

2.如图9-7所示,∠AOB=90°,且OA,OB分别与反比例函数y=3xx0)和y=?

A.

B.

C.21

D.

3.如图9-8所示,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,顶点A,B分别在反比例函数y=1xx0)与y=?5

4.如图9-9所示，已知点A是反比例函数y=1x在第一象限分支上的一个动点，连接AO并延长，交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC,点C在第四象限，且点C的位置随着点A的运动在不断变化，但点C始终在反比例函数y=k

5.如图9-10所示,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,且点B的坐标为(1,0),点C的坐标为(0,2),反比例函数y=

6.如图9-11所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-1，0)，点B的坐标为(0,2),将△ABO沿直线AB翻折后得到△ABC.若反比例函数y=kx(x0)的图象经过点C,则k=

7.如图9—12所示，反比例函数y=kxk

8.如图9--13所示,在矩形OACB中,点A的坐标为(3,a),点B的坐标为(b，2)，点C在y轴的正半轴上.若反比例函数y=mxx0)

9.如图9-14所示，线段AB交x轴于点C，且点C为AB的中点，点B在反比例函数y=1x的图象上，点A在反比例函数y=kx

1.解:如图14所示,过点C作CE⊥x轴于点E,过点B作BF⊥x轴于点F.

∵CE⊥x轴,BF⊥x轴,

∴∠AEC=∠BFA=90°.

∴∠BAF+∠ABF=90°.

∵由旋转的性质可知,AB=AC,∠BAC=90°,

∴∠CAE+∠BAF=90°.

∴∠ABF=∠CAE.

∴△ABF≌△CAE(AAS).

∴AF=CE,BF=AE.

∵点B，C的纵坐标分别为4和1，

∴CE=1,BF=4.

∴AF=1,AE=4.

设点B的坐标为(x,4),则点C的坐标为(x-5,1).

∵点B，C在反比例函数y=k

∴4x=x-5,解得x=?

∴点B的坐标为?

2.解:如图15所示,过点A,B分别作AM⊥x轴于点M,BN⊥x轴于点N.

∵点A在反比例函数y=3

∴S

∵点B在反比例函数y=?4

∴

∵∠AOB=90°,

∴△BON∽△OAM.

∴(BOAO)

∵在Rt△AOB中,设OB=2m,则OA=

∴AB=

∴

故选B.

3.解:如图16所示,过点A作AC⊥x轴于点C,过点B作BD⊥x轴于点D,则∠BDO=∠ACO=90°.

∵顶点A，B分别在反比例函数y=1xx0)

∴

∵∠AOB=90°,

∴△BDO∽