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杭州学军中学2023学年第二学期期中考试

高二数学试卷

一、单项选择题，本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.直线的倾斜角是

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由方程得到斜率，然后可得其倾斜角.

【详解】因为直线的斜率为

所以其倾斜角为

故选：D

2.直线的方向向量，直线的方向向量，则不重合直线与的位置关系是（）

A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定

【答案】B

【解析】

【分析】根据向量的关系，判断直线的位置关系.

【详解】因为，所以，

所以直线与平行.

故选：B

3.已知正态分布的正态密度曲线如图所示，，则下列选项中，不能表示图中阴影部分面积的是（）

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】借助正态密度曲线的对称性逐项判断即可得.

【详解】正态分布的正态密度曲线关于直线对称，

可得图中阴影部分可表示为，故选项A，B正确；

对C：由对称性可得，故选项C错误；

对D：由对称性可得，

所以图中阴影部分面积可表示为，故选项D正确．

故选：C．

4.若二项式的展开式中第项与第项的系数相同，则其常数项是（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据已知条件求出的值，写出二项展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解.

【详解】由已知条件可得，所以，.

二项式的展开式通项为，

令，解得，

因此，展开式中常数项为.

故选：C.

5.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据直线所过的定点，结合直线与圆的切线性质，利用数形结合思想进行求解即可.

【详解】直线即，恒过定点，

曲线即表示以点为圆心，半径为1，

且位于直线上方的半圆（包括点，），

当直线经过点时，与曲线有两个不同的交点，此时，直线记为；

当与半圆相切时，由，得，切线记为，

分析可知当时，与曲线有两个不同的交点，即实数k的取值范围是.

故选：B.

6.设抛物线的焦点为，为抛物线上一点且在第一象限，，若将直线绕点逆时针旋转得到直线，且直线与抛物线交于两点，则（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】先根据焦半径公式求出点的坐标，进而可求出直线的倾斜角，从而可得直线的倾斜角，即可得出直线的方程，，联立方程，利用韦达定理求出，再根据抛物线的焦点弦公式即可得解.

【详解】，

设，

则，所以，则，

故，

所以，

则直线的倾斜角，

所以直线的斜率，

所以直线的方程为，

联立，消得，

，

设，

则，

所以.

故选：A.

7.设为偶数，则被整除的余数是（）

A.0 B.1 C.2 D.

【答案】A

【解析】

【分析】结合二项式定理，化简原式，再利用二项展开式，即可求解.

【详解】由题意，可得

，

因为为偶数，

所以原式

因为能被整除，

所以被整除的余数是.

故选：A.

8.设函数（其中e为自然对数的底数），若存在实数a使得恒成立，则实数m的取值范围是（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】由题意可得等价于，

令，函数)和函数的图象，一个在直线的上方，一个在直线的下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，即可得出答案．

【详解】函数的定义域为，由得，

所以.令，

由题意得，函数和函数的图象，一个在直线的上方，一个在直线的下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，

由得，

所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，

所以，无最小值，

由得，，

若时，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以有最大值，无最小值，不合题意，

若时，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，则由即且，得.

故选：A.

【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，求解参数的取值范围，要注意根据函数的定义域对不等式进行适当化简和变形.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9.已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直