7种方法计算在100a+43b=61时ab最大值的方法.docVIP

已知100a+43b=61,求ab最大值的方法

主要内容：

本文详细介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算ab在100a+43b=61条件下的最大值。

主要公式：

1.sin2a+cos2a=1；

2.ab≤eq\f((a+b)2,2)；

3.二次方程根的判定定理；

4.一次函数的导数公式d（ax）=adx。

思路一：直接代入法

根据已知条件，替换b=eq\f(61-100a,43)，得到关于a的函数，再配方并根据二次函数性质得ab的取值范围。

ab=aeq\f(61-100a,43)

=-eq\f(1,43)(100a2-61a)

=-eq\f(100,43)(a2-eq\f(61,200)a)

=-eq\f(100,43)(a-eq\f(61,200))2+eq\f(3721,17200),

则当a=eq\f(61,200)时，ab有最大值为eq\f(3721,17200)。

思路二：判别式法

设ab=p，得到b=eq\f(p,a),代入已知条件关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。

100a+43b=61,

100a+43*eq\f(p,a)=61,

100a2-61a+43p=0,对a的二次方程有：

判别式△=612-4*100*43p≥0,即：

p≤eq\f(612,4*100*43)=eq\f(3721,17200),

此时ab=p的最大值=eq\f(3721,17200)。

思路三：三角换元法

将ab表示成三角函数，进而得ab的最大值,对于本题设:

100a=61cos2t，

43b=61sin2t，则：

a=eq\f(61,100)cos2t,b=eq\f(100,43)sin2t,代入得：

ab=eq\f(61,100)cos2t*eq\f(100,43)sin2t,

=eq\f(1,4)*eq\f(61,100)*eq\f(100,43)*(4cos2t*sin2t),

=eq\f(612,4*100*43)*sin22t,

当sin2t=±1时，ab有最大值=eq\f(3721,17200)。

思路四：中值代换法

设100a=eq\f(61,2)+t?,43b=eq\f(61,2)-t?，则：

a=eq\f(1,100)(eq\f(61,2)+t?),b=eq\f(1,43)(eq\f(61,2)-t?),此时：

ab=eq\f(1,100)(eq\f(61,2)+t?)*eq\f(1,43)(eq\f(61,2)-t?)

=eq\f(1,100*43)(eq\f(612,4)-t?2)。

当t?=0时，即：

ab≤eq\f(612,4*100*43)=eq\f(3721,17200),

则:ab的最大值为eq\f(3721,17200)。

思路五：不等式法

当a，b均为正数时，则：

∵100a+43b≥2eq\r(100*43*ab),

∴(100a+43b)2≥4*100*43ab,

612≥4*100*43ab,即：

ab≤eq\f(612,4*100*43)=eq\f(3721,17200),

则ab的最大值为:abmax=eq\f(3721,17200)。

思路六：数形几何法

如图，设直线100a+43b=61上的任意一点P(a?,b?),op与x轴的夹角为θ，则：

y

p(a?,b?)

o x

100a?+43b?=61,

b?=a?tanθ,

100a?+43a?tanθ=61，即：

a?=eq\f(61,100+43tanθ),

|a?*b?|=612*eq\f(|tanθ|,(100+43tanθ)2),

=eq\f(612,\f(10000,|tanθ|)+2*100*43+1849|tanθ|),

≤eq\f(612,2*100*43+2*100*43)=eq\f(3721,17200)，则：

ab的最大值=eq\f(3721,17200).

思路七:构造函数法

设函数：f(a,b)=ab-λ*(100a+43b-61),则偏导数：

fa=b-100λ,fb=a-43λ,

fλ=100a+43b-61。

令fa=fb=fλ=0，则：

b=100λ,a=43λ。进一步代入得：

100λ+100λ=61,即λ=eq\f(61,200).

则：a=43*eq\f(61,200),b=100*eq\f(61,200).

abmax=43*100*(eq\f(61,200))2=eq\f(3721,17200)。