67a+103b=49,求ab最大值的方法.docVIP

已知67a+103b=49,求ab最大值的方法

主要内容：

本文详细介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算ab在67a+103b=49条件下的最大值。

主要公式：

1.sin2a+cos2a=1；

2.ab≤eq\f((a+b)2,2)；

3.二次方程根的判定定理；

4.一次函数的导数公式d（ax）=adx。

思路一：直接代入法

根据已知条件，替换b=eq\f(49-67a,103)，得到关于a的函数，再配方并根据二次函数性质得ab的取值范围。

ab=aeq\f(49-67a,103)

=-eq\f(1,103)(67a2-49a)

=-eq\f(67,103)(a2-eq\f(49,134)a)

=-eq\f(67,103)(a-eq\f(49,134))2+eq\f(2401,27604),

则当a=eq\f(49,134)时，ab有最大值为eq\f(2401,27604)。

思路二：判别式法

设ab=p，得到b=eq\f(p,a),代入已知条件关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。

67a+103b=49,

67a+103*eq\f(p,a)=49,

67a2-49a+103p=0,对a的二次方程有：

判别式△=492-4*67*103p≥0,即：

p≤eq\f(492,4*67*103)=eq\f(2401,27604),

此时ab=p的最大值=eq\f(2401,27604)。

思路三：三角换元法

将ab表示成三角函数，进而得ab的最大值,对于本题设:

67a=49cos2t，

103b=49sin2t，则：

a=eq\f(49,67)cos2t,b=eq\f(67,103)sin2t,代入得：

ab=eq\f(49,67)cos2t*eq\f(67,103)sin2t,

=eq\f(1,4)*eq\f(49,67)*eq\f(67,103)*(4cos2t*sin2t),

=eq\f(492,4*67*103)*sin22t,

当sin2t=±1时，ab有最大值=eq\f(2401,27604)。

思路四：中值代换法

设67a=eq\f(49,2)+t?,103b=eq\f(49,2)-t?，则：

a=eq\f(1,67)(eq\f(49,2)+t?),b=eq\f(1,103)(eq\f(49,2)-t?),此时：

ab=eq\f(1,67)(eq\f(49,2)+t?)*eq\f(1,103)(eq\f(49,2)-t?)

=eq\f(1,67*103)(eq\f(492,4)-t?2)。

当t?=0时，即：

ab≤eq\f(492,4*67*103)=eq\f(2401,27604),

则:ab的最大值为eq\f(2401,27604)。

思路五：不等式法

当a，b均为正数时，则：

∵67a+103b≥2eq\r(67*103*ab),

∴(67a+103b)2≥4*67*103ab,

492≥4*67*103ab,即：

ab≤eq\f(492,4*67*103)=eq\f(2401,27604),

则ab的最大值为:abmax=eq\f(2401,27604)。

思路六：数形几何法

如图，设直线67a+103b=49上的任意一点P(a?,b?),op与x轴的夹角为θ，则：

y

p(a?,b?)

o x

67a?+103b?=49,

b?=a?tanθ,

67a?+103a?tanθ=49，即：

a?=eq\f(49,67+103tanθ),

|a?*b?|=492*eq\f(|tanθ|,(67+103tanθ)2),

=eq\f(492,\f(4489,|tanθ|)+2*67*103+10609|tanθ|),

≤eq\f(492,2*67*103+2*67*103)=eq\f(2401,27604)，则：

ab的最大值=eq\f(2401,27604).

思路七:构造函数法

设函数：f(a,b)=ab-λ*(67a+103b-49),则偏导数：

fa=b-67λ,fb=a-103λ,

fλ=67a+103b-49。

令fa=fb=fλ=0，则：

b=67λ,a=103λ。进一步代入得：

67λ+67λ=49,即λ=eq\f(49,134).

则：a=103*eq\f(49,134),b=67*eq\f(49,134).

abmax=103*67*(eq\f(49,134))2=eq\f(2401,27604)。