已知76c+70d=125,计算ab最大值的多种方法.docVIP

已知76c+70d=125,求ab最大值的方法

主要内容：

本文详细介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算cd在76c+70d=125条件下的最大值。

主要公式：

1.sin2a+cos2a=1；

2.ab≤eq\f((a+b)2,2)；

3.二次方程根的判定定理；

4.一次函数的导数公式d（ax）=adx。

思路一：直接代入法

根据已知条件，替换d=eq\f(125-76c,70)，得到关于c的函数，再配方并根据二次函数性质得cd的取值范围。

cd=aeq\f(125-76c,70)

=-eq\f(1,70)(76c2-125c)

=-eq\f(38,35)(c2-eq\f(125,152)a)

=-eq\f(38,35)(c-eq\f(125,152))2+eq\f(3125,4256),

则当c=eq\f(125,152)时，cd有最大值为eq\f(3125,4256)。

思路二：判别式法

设cd=p，得到d=eq\f(p,c),代入已知条件关于c的函数，并根据二次函数性质得cd的取值范围。

76c+70d=125,

76c+70*eq\f(p,c)=125,

76c2-125c+70p=0,对c的二次方程有：

判别式△=1252-4*76*70p≥0,即：

p≤eq\f(1252,4*76*70)=eq\f(3125,4256),

此时cd=p的最大值=eq\f(3125,4256)。

思路三：三角换元法

将cd表示成三角函数，进而得cd的最大值,对于本题设:

76c=125cos2t，

70d=125sin2t，则：

c=eq\f(125,76)cos2t,d=eq\f(76,70)sin2t,代入得：

cd=eq\f(125,76)cos2t*eq\f(76,70)sin2t,

=eq\f(1,4)*eq\f(125,76)*eq\f(76,70)*(4cos2t*sin2t),

=eq\f(1252,4*76*70)*sin22t,

当sin2t=±1时，cd有最大值=eq\f(3125,4256)。

思路四：中值代换法

设76c=eq\f(125,2)+t?,70d=eq\f(125,2)-t?，则：

c=eq\f(1,76)(eq\f(125,2)+t?),d=eq\f(1,70)(eq\f(125,2)-t?),此时：

cd=eq\f(1,76)(eq\f(125,2)+t?)*eq\f(1,70)(eq\f(125,2)-t?)

=eq\f(1,76*70)(eq\f(1252,4)-t?2)。

当t?=0时，即：

cd≤eq\f(1252,4*76*70)=eq\f(3125,4256),

则:cd的最大值为eq\f(3125,4256)。

思路五：不等式法

当c，d均为正数时，则：

∵76c+70d≥2eq\r(76*70*cd),

∴(76c+70d)2≥4*76*70cd,

1252≥4*76*70cd,即：

cd≤eq\f(1252,4*76*70)=eq\f(3125,4256),

则cd的最大值为:cdmax=eq\f(3125,4256)。

思路六：数形几何法

如图，设直线76c+70b=125上的任意一点P(c?,d?),op与x轴的夹角为θ，则：

y

p(c?,d?)

o x

76c?+70d?=125,

d?=c?tanθ,

76c?+70c?tanθ=125，即：

c?=eq\f(125,76+70tanθ),

|c?*d?|=1252*eq\f(|tanθ|,(76+70tanθ)2),

=eq\f(1252,\f(5776,|tanθ|)+2*76*70+4900|tanθ|),

≤eq\f(1252,2*76*70+2*76*70)=eq\f(3125,4256)，则：

cd的最大值=eq\f(3125,4256).

思路七:构造函数法

设函数：f(c,d)=cd-λ*(76c+70d-125),则偏导数：

fc=d-76λ,fd=c-70λ,

fλ=76c+70d-125。

令fc=fd=fλ=0，则：

d=76λ,c=70λ。进一步代入得：

76λ+76λ=125,即λ=eq\f(125,152).

则：c=70*eq\f(125,152),b=76*eq\f(125,152).

cdmax=70*76*(eq\f(125,152))2=eq\f(3125,4256)。