2025年高考数学一轮总复习第3章导数及其应用第2讲第1课时导数与函数的单调性.pptxVIP

;第二讲导数在研究函数中的应用

第一课时导数与函数的单调性;知识梳理·双基自测;知识梳理·双基自测;知识梳理

知识点函数的单调性

1．设函数y＝f(x)在某个区间内______，若f′(x)____0，则f(x)为增函数，若f′(x)____0，则f(x)为减函数．

2．求可导函数f(x)单调区间的步骤：

(1)确定f(x)的________；

(2)求导数f′(x)；

(3)令f′(x)____0(或f′(x)____0)，解出相应的x的范围；

(4)当____________时，f(x)在相应区间上是增函数，当___________时，f(x)在相应区间上是减函数．;归纳拓展

1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．

2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f′(x)0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f′(x)0有解．;双基自测

题组一走出误区

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)0.()

(2)若函数y＝f(x)在(a，b)内恒有f′(x)≥0，则y＝f(x)在(a，b)上一定为增函数．()

(3)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减．();(4)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．();[解析](1)有可能f′(x)＝0，如f(x)＝x3，它在(－∞，＋∞)上为增函数，但f′(x)＝x2≥0.

(2)因为y＝f(x)若为常数函数，则一定有f′(x)＝0满足条件，但不具备单调性．

(3)f′(x)＝0在(a，b)内有有限个根不影响y＝f(x)的单调性，故正确．

(4)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则此函数f(x)在这个区间内为常数函数，则函数f(x)在这个区间内没有单调性．;题组二走进教材

2．(选择性必修2P89T3改编)如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是()

A．在区间(－2,1)上f(x)单调递增

B．在区间(1,3)上f(x)单调递减

C．在区间(4,5)上f(x)单调递增

D．在区间(3,5)上f(x)单调递增;A．(－∞，0) B．(0,2log2e)

C．(－∞，2log2e) D．(2log2e，＋∞);[答案]B;4．(选择性必修2P99T12改编)已知函数f(x)＝1＋x－sinx，则f(2)，f(3)，f(π)的大小关系正确的是()

A．f(2)f(3)f(π) B．f(3)f(2)f(π)

C．f(2)f(π)f(3) D．f(π)f(3)f(2)

[答案]D

[解析]f′(x)＝1－cosx，当x∈(0，π]时，f′(x)0，所以f(x)在(0，π]上是增函数，所以f(π)f(3)f(2)．故选D.;题组三走向高考

5．(2023·新课标Ⅱ卷，6,5分)已知函数f(x)＝aex－lnx在区间(1,2)单调递增，则a的最小值为()

A．e2 B．e

C．e－1 D．e－2;[答案]C;考点突破·互动探究;函数的单调性;(4)由f(x)＝(x－1)ex－x2，得f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2x＝xex－2x＝x(ex－2)，

令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝ln2.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化如下表：;名师点拨：用导数f′(x)确定函数f(x)单调区间的三种类型及方法：

1．当不等式f′(x)0或f′(x)0可解时，根据函数的定义域，解不等式f′(x)0或f′(x)0求出单调区间．

2．当方程f′(x)＝0可解时，根据函数的定义域，解方程f′(x)＝0，求出实数根，把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和实根按从大到小的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，再确定f′(x)在各个区间内的符号，从而确定单调区间．

3．当不等式f′(x)0或f′(x)0及方程f′(x)＝0均不可解时，对f′(x)化简，根据f′(x)的结构特征，选择相应的基本初等函数，利用其图象与性质确定f′(x)的符号，得单调区间．;注意：(1)求单调区间一定要在定义域范围内．

(2)函数的单调区间有多个时不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．;【变式训练】;考向2含参数的函数的单调性——师生共研

(2021·全国甲卷，20)设函数f(x)＝a2x2＋ax－3lnx＋1，其中a＞0.

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