2025年高考数学一轮总复习第3章导数及其应用第3讲第3课时导数与函数的零点.pptxVIP

;第三讲导数的综合应用

第三课时导数与函数的零点;名师讲坛·素养提升;考点突破·互动探究;判断、证明或讨论零点的个数;2．(2025·黑龙江牡丹江省级示范高中月考)已知f(x)＝ex－1－ax(x0)，x＝1是f(x)的极值点(其中e是自然对数的底数)．

(1)求a的值；;名师点拨：利用导数研究方程根(函数零点)的技巧

1．研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等．

2．根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置．

3．利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．;【变式训练】

(2025·赣州适应性考试)已知函数f(x)＝ex－m－xlnx，f(x)的导函数为f′(x)．

(1)当m＝1时，证明：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；

(2)若g(x)＝f′(x)－m＋1，讨论函数g(x)零点的个数．;(2)由题意得，f′(x)＝ex－m－lnx－1，则g(x)＝f′(x)－m＋1＝ex－m－lnx－m(x0)，

令g(x)＝ex－m－lnx－m＝0，则ex－m＝lnx＋m，

∴ex＝em(lnx＋m)，

∴xex＝xem(lnx＋m)，

∴xex＝em＋lnx(lnx＋m)，

令φ(x)＝xex，则φ(x)＝φ(m＋lnx)，

∵当x0时，φ′(x)＝(x＋1)ex0，

∴当x0时，φ(x)＝xex为单调递增函数，

∴x＝m＋lnx，∴m＝x－lnx(x0)，;根据零点个数求参数范围;名师点拨：利用函数零点求参数范围的方法

1．利用零点的个数结合函数f(x)的单调性构建不等式求解．

2．转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．

3．分离参数(k＝g(x))后，将原问题转化为y＝g(x)的值域(最值)问题或转化为直线y＝k与y＝g(x)的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解．;【变式训练】

(2025·山东菏泽检测)若关于x的方程x3－x2－x－1－2k＝0有3个不同的根，则实数k的取值范围为();与零点有关的综合问题;[解析]令x3－3x＝－(x－1)2＋a，

即a＝x3＋x2－5x＋1，

令g(x)＝x3＋x2－5x＋1(x0)，

则g′(x)＝3x2＋2x－5＝(3x＋5)(x－1)，

令g′(x)＝0(x0)得x＝1，

当x∈(0,1)时，g′(x)0，g(x)单调递减，

当x∈(1，＋∞)时，g′(x)0，g(x)单调递增，

g(0)＝1，g(1)＝－2，

因为曲线y＝x3－3x与y＝－(x－1)2＋a在(0，＋∞)上有两个不同的交点，

所以等价于y＝a与g(x)有两个交点，所以a∈(－2,1)．;【变式训练】

已知函数f(x)＝(x－1)lnx－x－1.

证明：(1)f(x)存在唯一的极值点；

(2)f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．;名师讲坛·素养提升;极值点偏移问题处理方法

图说极值点偏移;方法(一)对称变换

对称变换主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题，其解题要点如下：

(1)定极值点，即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点x0.;(3)判断单调性，即利用导数讨论h(x)的单调性．

(4)比较大小，即判断函数h(x)在某段区间上的正负，并得出f(x)与f(2x0－x)的大小关系．

(5)转化，即利用函数f(x)的单调性，将f(x)与f(2x0－x)的大小关系转化为x与2x0－x之间的关系，进而得到所证或所求．;[探究]本题证明的不等式中含有两个变量，对于此类问题一般的求解思路是将两个变量分到不等式的两侧，然后根据函数的单调性，通过两个变量之间的关系“减元”，建立新函数，最终将问题转化为函数的最值问题来求解．考查了逻辑推理、数学建模及数学运算等核心素养．在求解此类问题时，需要注意变量取值范围的限定．;方法(二)消参减元

消参减元的主要目的就是减元，进而建立与所求解问题相关的函数．主要是利用函数极值点乘积所满足的条件进行消参减元．其解题要点如下：;消参减元;(2024·安徽六安一中模拟)已知函数f(x)＝xlnx－ax2＋x(a∈R)．

(1)证明：曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线l恒过定点；;[探究]本题第(2)问要证明的方程f(x)＝0的根之间的不等式关系比较复杂，此类问题可通过不等式的等价变形，再利用函数的单调性转化为对应函数值之间的大小关系．显然构造函数的关键仍然是消掉参数．;方法(三)比(差)值换元

比(差)值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之比(差)作为变量，从而实现消参、减元的目的，设法用比值或差值(一般用t表示)