数学物理方法初值问题.pptVIP

设t’=t-τ，则v满足：*由达朗贝尔公式有数学检验：*初始条件：积分号下的求导公式：则非齐次方程以上这种用瞬态冲量的叠代替持续作用力来解决问题的方法，称为冲量原理。数学上称为齐次化原理。所以有010302齐次化原理求解过程小结：*设有定解问题为齐次化原理不仅可用于非其次波动方程的初始值问题，还可用于混合问题及其他方程（如热传导方程）的定解问题。例解：令u（x，t）=u1（x，t）+u2（x，t)u1（x，t）直接由达朗贝尔公式求出：u2（x，t）由冲量原理（齐次化原理）求解；3.2一维热传导方程*010204定解问题的提出（柏松公式）齐次方程（柏松公式）物理意义*设细杆在x轴上，在杆上取一点x0，现假设初始温度分布为而根据柏松公式，细杆温度分布为xx0-δx0+δx0*如果别人思考数学的真理像我一样深入持久,他也会找到我的发现。----高斯本章基本要求*掌握达朗贝尔公式、泊松公式及其物理意义掌握半无限长问题的延拓法求解掌握非齐次方程问题的求解方法0102033.1弦振动方程*STEP01STEP02齐次弦振动方程（达朗贝尔公式）定解问题的提出齐次方程可以写为：*我们解方程一般是希望解出通解，再根据条件得到特解，但偏微分方程的通解形式一般很难界定，也较难求。研究表明，对无界情况的定解问题（波动方程和热传导）可以求出通解，然后通过初始条件得到特解。可满足前述要求，此时研究发现，当作变量代换此时通过方程两边积分，即可求出方程的通解。对积分：*上式中f1为任意二次连续可微函数两边再对ε积分：得到(1)通解积分常数依赖于同理交换积分顺序，同样可以得到*上式即为通解形式此时f2为任意二次连续可微函数其中f1和f2均为任意二次连续可微函数(2)达朗贝尔公式*确定待定函数的形式无限长，即无边界条件初始条件为和即上面第二式两端对x积分，得到将上式和前面第一式联立，可求出上式即为达朗贝尔公式*即先考虑u2=f2（x-at）：（3）物理意义*1当t=t2（t2t1)时，u2=f2（x-at2）。2故波形u2=f2（x-at）随着时间推移，以常速度a向x轴的正方向移动。我们称之为右行波。3当t=t1时，u2=f2（x-at1）；4同理u1=f1（x+at）为一个以常速度a向x轴的负方向传播的行波。称为左行波。5故达朗贝尔公式表明，弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个方向传播出去，其传播速度正好是弦振动方程中的常数a，故此方法又称为行波法。从达朗贝尔公式可以看出，波动方程的解，是初始条件的演化。方程本身并不可能产生出超出初始条件的，额外的形式来。01而这种演化又受到边界条件的限制。02这就说明了初始条件和边界条件在确定波动方程的解时的重要性。03（4）依赖区间、决定区域、影响区域*从达朗贝尔公式还可以看出，解在点（x，t）的数值仅依赖于区间[x-at,x+at]上的初始条件，而与其他点上的初始条件无关。称[x-at,x+at]为点（x，t）的依赖区间，它是由过点（x，t）的两条斜率分别为±1/a的直线在x轴所截得的区间，如下图所示。tOx(x,t)x-atx+at当t=0时，取x轴上的区间[x1,x2]，过点x1做斜率为1/a的直线x=x1+at，过点x2做斜率为-1/a的直线x=x2-at，两直线与区间[x1,x2]围成一个三角区域（如下图所示），该区域内的任一点（x，t）的依赖区间都落在[x1,x2]内，即解在这个区域内的数值完全由区间[x1,x2]上的初始条件决定，而与此区间外的初始条件无关，这个区域称为区间[x1,x2]的决定区域。tOxx1x2x=x1+atx=x2-at若在区间[x1,x2]的两端作直线x=x1-at和x=x2+at，则经过时间t后，受[x1,x2]上初始扰动影响的区域为在此区域外的波动不受[x1,x2]上初始扰动的影响，这个区域称为[x1,x2]的影响区域。tOxx1x2x=x1+atx=x1-at从上面的讨论可以看出，直线族在对波动方程的讨论中起着很重要的作用，我们称这两族直线为波动方程的特征线。在特征线x+at=c1上，左行波u1=f1（x+at）的振幅取常数值f1（c1），同样在特征线x-at=c2上，右行波u2=f2（x-at）的振幅取常数值f2（c2），且这两个数值随特征线的移动（即常数c1和c2的改变）而改变，所以波动实际上是