第六章　微点突破5 含弹簧的机械能守恒问题.docx

含弹簧的机械能守恒问题

目标要求知道弹簧的弹性势能与哪些因素有关，会分析含弹簧的机械能守恒问题。

1.由于弹簧发生形变时会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统除重力、弹簧弹力以外的其他力不做功，系统机械能守恒。

2.弹簧两端的物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能有最大值。

*3.对同一弹簧，弹性势能的大小为Ep＝12kx2

例1如图所示，质量为m的小球从静止下落，落在与A点等高处、竖直放置、静止的轻弹簧上，到达与B点等高处时小球重力与弹簧的弹力大小相等，图中与C点等高处是小球到达的最低点。不计空气阻力，下列说法正确的是()

A.从O到C，小球重力势能一直减小、动能一直增大，小球、地球、弹簧组成的系统机械能守恒

B.从A到C，小球重力势能一直减小、动能先增大后减小，小球、地球、弹簧组成的系统机械能不守恒

C.到达B点时，小球的动能最大，弹性势能最小

D.从O到A，小球重力势能减小，动能增大，小球、地球组成的系统机械能守恒

答案D

解析到达与B点等高处时小球重力与弹簧的弹力大小相等，此时加速度为0，速度达到最大，所以从O到C，小球重力势能一直减小、动能先增大后减小，小球、地球、弹簧组成的系统机械能守恒，故A错误；从A到C，小球重力势能一直减小、动能先增大后减小，小球、地球、弹簧组成的系统机械能守恒，故B错误；到达B点时，小球的动能最大，到达A点时弹性势能最小，故C错误；从O到A，只有重力做功，小球重力势能减小，动能增大，小球、地球组成的系统机械能守恒，故D正确。

例2(多选)如图所示，轻弹簧一端固定在O点，另一端与一质量为m的小球相连，小球套在固定的竖直光滑杆上，P点到O点的距离为L，OP与杆垂直，杆上M、N两点与O点的距离均为2L。已知弹簧原长为54L，重力加速度为g。现让小球从M处由静止释放，下列说法正确的是()

A.小球从M运动到N的过程中，有三个位置小球受到的合力等于重力

B.小球从M运动到N的过程中，小球的机械能守恒

C.小球从M运动到N的过程中，弹簧弹性势能先减小后增大

D.小球通过N点时速率为23

答案AD

解析OM＝ON＝2L，OP＝L，弹簧的原长为54L，所以小球在MP之间某个位置时弹簧处于原长，弹簧弹力为0，小球受到的合力等于重力，同理小球在PN之间某个位置时弹簧处于原长，弹簧弹力为0，小球受到的合力等于重力，当小球经过P点时小球受到的合力等于重力，故A正确；小球从M运动到N的过程中，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，但小球的机械能并不守恒，故B错误；小球从M运动到N的过程中，弹簧的弹性势能先减小后增大，再减小又增大，故C错误；小球在M、N两个位置时，弹簧的长度相等，所以弹簧的弹性势能相等，在整个过程中小球的重力势能全部转化为动能，有mg×23L＝12mv2，解得v＝23gL

例3如图所示，一顶角为直角的“”形光滑细杆竖直放置。质量均为m的两金属环套在细杆上，高度相同，用一劲度系数为k的轻质弹簧相连，此时弹簧为原长l0。两金属环同时由静止释放，运动过程中弹簧的伸长量在弹性限度内，且弹簧始终保持水平，已知弹簧的长度为l时，弹性势能为12k(l－l0)2，重力加速度为g，下列说法正确的是()

A.金属环在最高点与最低点加速度大小相等

B.左边金属环下滑过程机械能守恒

C.弹簧的最大拉力为3mg

D.金属环的最大速度为2gm

答案A

解析左边金属环下滑过程，除重力以外，还有弹簧的弹力对它做功，故金属环下滑过程中机械能不守恒，故B错误；金属环下降h达到最低点时，速度减小为0，弹簧形变量最大为2h，根据两金属环与弹簧系统机械能守恒有2mgh＝12k(2h)2，解得h＝mgk，弹簧的最大伸长量Δx＝2h

弹簧的最大拉力为FT＝kΔx＝2mg，故C错误；

在最高点时金属环只受重力和支持力作用，此时重力沿杆方向的分力提供加速度，有a1＝gsin45°

在最低点，由上述知FT＝2mg

根据牛顿第二定律可知FTcos45°－mgsin45°＝ma2，解得a2＝gsin45°，则a1＝a2

金属环在最高点与最低点加速度大小相等，故A正确；

当金属环的加速度为0时，速度最大，金属环受力如图所示，金属环受到重力、杆的弹力和弹簧的弹力，沿杆方向加速度为0，即合力为0，有mgsin45°＝Fcos45°，又F＝kΔx，解得形变量Δx＝mgk，根据几何知识，两个小球下降的高度为h＝mg2k，对两个金属环和弹簧根据机械能守恒，有2mgh＝12k(Δx)2＋12×2mv2，解得v＝

例4(2024·山东潍坊市期中)如图所示，在倾角为θ=37°的固定光滑斜面底端固定一挡板，轻弹簧下端与挡板连接，上端与物块A连接，物块B紧靠A放置，弹簧的劲度系数k=60N/