(上海专用)新高考数学一轮复习讲练测专题02 等式与不等式(讲义)（解析版）.docVIP

专题02等式与不等式(讲义)

1.两个实数比较大小的方法

(1)作差法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b0?ab，,a－b＝0?a＝b，,a－b0?ab.))

(2)作商法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)1（a∈R，b0）?ab（a∈R，b0），,\f(a,b)＝1?a＝b（a，b≠0），,\f(a,b)1（a∈R，b0）?ab（a∈R，b0）.))

2.等式的性质

等式有下面的基本性质：

(1)如果a＝b，那么b＝a；（对称性）

(2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c；（传递性）

(3)如果a＝b，那么a±c＝b±c；（同加性，同减性）

(4)如果a＝b，那么ac＝bc；（同乘性）

(5)如果a＝b，c≠0，那么.（同除性）

3.不等式的性质

(1)对称性：a＞b?b＜a；

(2)传递性：a＞b，b＞c?a＞c；

(3)同向可加性：a＞b?a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d；

(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd；

(5)可乘方性：a＞b＞0?an＞bn(n∈N，n≥1)；

(6)可开方性：a＞b＞0?eq\r(n,a)＞eq\r(n,b)(n∈N，n≥2).

常用结论：

1.证明不等式的常用方法有：作差法、作商法、综合法、分析法、反证法、放缩法.

2.有关分式的性质

(1)若ab0，m0，则eq\f(b,a)eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)eq\f(b－m,a－m)(b－m0).

(2)若ab0，且ab?eq\f(1,a)eq\f(1,b).

4.基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)

(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.

(3)其中eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数.

2.两个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.

(2)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.

3.利用基本不等式求最值

(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P).

(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2.

常用结论：

1.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.

2.ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)≤eq\f(a2＋b2,2).

3.应用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽略某个条件，就会出错.

4.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.

即可)

5.二次函数与一元二次方程、不等式

1.一元二次不等式

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.

2.三个“二次”间的关系

判别式

Δ＝b2－4ac

Δ＞0

Δ＝0

Δ＜0

二次函数

y＝ax2＋bx＋c

(a＞0)的图象

一元二次方程

ax2＋bx＋c＝0

(a＞0)的根

有两相异实根x1，x2(x1＜x2)

有两相等实根

x1＝x2＝－eq\f(b,2a)

没有实数根

ax2＋bx＋c＞0

(a＞0)的解集

eq\f({x|x＞x2,或x＜x1})

eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠－\f(b,2a)))

R

ax2＋bx＋c＜0

(a＞0)的解集

{x|x1＜x＜x2}

?

?

3.(x－a)(x－b)0或(x－a)(x－b)0型不等式的解集

不等式

解集

ab

a＝b

ab

(x－a)·(x－b)0

{x|xa或xb}

{x|x≠a}

{x|xb或xa}

(x－a)·(x－b)0

{x|axb}

?

{x|bxa}

4.分式不等式与整式不等式

(1)eq\f(f（x）,g（x）)0(0)?f(x)·g(x)0(0).

(2)eq\f(f（x）,g（x）)≥0(≤0)?f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.

常用结论：

1.绝对值不等式|x|a(a0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|a(a0)的解集为

(－a，a).

记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.

2.解不等式ax2＋bx＋c0(0)时不要忘记当a＝0时的情形.

3.不等式