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山西省太原市2023-2024学年高一下学期期中学业诊断考试数学试卷

说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间90分钟，满分100分．

一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1.在复平面内，复数对应的点的坐标是（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】求出复数实部、虚部可得答案.

【详解】在复平面内，复数对应的点的坐标是.

故选：B.

2.已知，且∥，则实数（）

A. B.1 C. D.4

【答案】C

【解析】

【分析】由两向量共线列方程求解即可

【详解】因为，且∥，

所以，得，

故选：C

3.下列结论不正确的是（）

A.三棱锥是四面体 B.长方体是平行六面体 C.正方体是直四棱柱 D.四棱柱是平行六面体

【答案】D

【解析】

【分析】利用四面体的定义判断A；利用平行六面体的定义判断BD；利用直四棱柱的定义判断C．

【详解】对于A，三棱锥是四面体，故A正确；

对于B，长方体是平行六面体，故B正确；

对于C，正方体是直四棱柱，故C正确；

对于D，四棱柱的底面不一定是平行四边形，

四棱柱不一定是平行六面体，故D错误．

故选：D．

4.在中，，则（）

A. B.2 C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据正弦定理即可求解.

【详解】由正弦定理可得：.

因为，

所以.

故选：A.

5.已知正方形ABCD的边长为2，则正方形ABCD用斜二测画法画出的直观图的面积为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据原图与直观图的面积关系即可求解.

【详解】正方形ABCD的边长为2，

则原图面积S原

由原图与直观图的面积关系得S直

故选：.

6.在中，点在线段上，且，则（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据向量的线性运算公式化简可得答案.

【详解】因为，所以，

.

故选：D.

7.已知一个圆锥的底面半径为，母线长为，则其内切球的体积为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】由圆锥的轴截面图可求得圆锥内切球的半径，进而求体积.

【详解】因为圆锥的底面半径为，所以圆锥的底面直径为，

如图圆锥内切球半径为圆锥轴截面内切圆半径，

设内切球半径为，内切球球心为I，连接IP,IQ,IS.

三角形PQS是边长为的等边三角形，

由等面积法有，12×23+2

故所求为V=4

故选：C.

8.勒洛三角形是一种典型定宽曲线，分别以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知，点在弧AC上，且，则（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】以为原点，建立平面直角坐标系，利用坐标法求向量数量积.

【详解】以为原点，为轴，点在第一象限，建立如图所示的平面直角坐标系，

则有，，,为弧上的点且，则，

，

.

故选：A.

二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）

9.已知非零复数，其共轭复数为，则下列结论正确的是（）

A. B.

C.若，则是纯虚数 D.若，则是纯虚数

【答案】BC

【解析】

【分析】对于A，举反例即可判断；对于BCD，由复数的概念、复数四则运算以及复数模的计算公式逐一验算即可.

【详解】对于A，取，则，故A错误；

对于B，设，则，故B正确；

对于C，设，则，故，而复数是非零复数，所以，则是纯虚数，故C正确；

对于D，设，则，故，而复数是非零复数，所以，则是实数，故D错误.

故选：BC.

10.已知单位向量，下列结论正确的是（）

A.

B.

C.若，则

D.若，则

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A，由数量积的定义验算即可；对于B，只需即可否定，对于CD，由数量积的运算律即可判断.

【详解】对于A，，故A正确；

对于B，当时，不一定共线，所以不一定相等，故B错误；

对于C，若，则，即，故C正确；

对于D，