数理方程与特殊函数.pptVIP

*Email:数理方程与特殊函数任课教师：杨春数学科学学院热传导、稳态场方程及其定解条件*01影响物理系统的其它条件热传导方程本次课主要内容稳态场方程020304常用物理规律(二)*定义热流密度：02热传导定律012、牛顿冷却定律*单位时间内流过单位面积放出的热量为：比热公式4、高斯定律*(一)、热传导方程*截面积为A的均匀细杆，侧面绝热，沿杆长方向有温差，求杆内温度的变化规律。(1)、细杆的热传导问题xx+dxLu(x,t)xn在dt时间内流入微元的热量为：在dt时间内放出微元的热量为：在dt时间内微元吸收的净热量为：由比热公式：*一维齐次热传导方程由热量守恒定律得：(2)、三维空间中的热传导问题*设均匀且各向同性的导热体,置于温度比它高的热场中,求物体中温度u(x，y，z,t)的分布的规律。导热体热场*分析：(1)、[t1,t2]时间里流入导热体的热量Q1计算先要给出在[t1,t2]时间里流入导热体的热量，然后再给出在该时间中导热体温度升高所需要的热量。dSn流入dS的热量微元为：在[t1,t2]时间里流入S的热量为：01[t1,t2]里导热体升温需要的热量Q2计算02导热体微元dV在dt时间升温需要的热量为：03[t1,t2]里导热体升温需要的热量Q2为：由热量守恒定律：Q1=Q2*01于是得到：02三维齐次热传导方程其中，f(M,t)被称为自由项。物质扩散与热传导现象相似。所以，热传导方程也称为扩散方程。如果导热体内部有热源，不难得到非齐次方程形式为：010203(二）、稳态场方程*三维齐次热传导方程为：稳定温度分布稳态场问题是一类重要的典型物理问题，主要特征是所研究的物理量不随时间而变化。热传导达到稳定状态时有：称后一方程为稳态场中的拉普拉斯方程.0103022、静电场中的电势分布规律*01由静电场的高斯公式：02如果设：03可以得到：把(2)代入(1)得：这就是静电场中电势满足的泊松方程如果ρ=0，则泊松方程变为拉普拉斯方程。泊松方程与拉普拉斯方程称为稳态场方程。静电场是保守场，于是存在势函数u(x,y,z)满足：三类典型物理方程总结*热传导方程：稳态场方程(泊松方程)：波动方程：稳态场方程的定解条件问题*不含初值条件稳态场方程求解将在第六章讨论！边界条件带第一类边界条件：狄里赫列问题，简称狄氏问题；带第二类边界条件：牛曼问题；带第三类边界条件：洛平问题。(三）、影响物理系统的其它条件*1、衔接条件反映两种介质交界处物理状况的条件称为衔接条件。当物理系统涉及几种介质时，定解条件中就要包括衔接条件。例1、写出由两种不同材料,等截面积杆连接成的杆的纵振动的衔接条件。连接处为x=x0分析：连接处面上点的位移相等，面上协强相等。x=x0Y1Y2xu1(x,t)u2(x,t)所以，衔接条件为：*例2、讨论静电场中电介质表面的衔接条件设ε1，ε2与u1,u2分别表示两种介质的介电常数与电势；?f表示分界面S上电荷面密度。在界面处，两种介质中的电势应相等事实上：根据电场强度与电势梯度的关系有：于是，若假定E为p1p2上的平均电场强度(显然它有限)，则：两边对ΔL取极限得：01在界面处，可以导出如下等式：02事实上：根据有介质高斯公式就可以推出上式。03Qf是面S内的总电荷04有介质高斯公式为：取一个包含ΔS的上下底平行的高为Δh的扁平盒：由于Δh可以很小，因此，通过侧面的电通量忽略！于是由高斯公式有：而: