已知27c+57d=44,计算ab最大值的方法.docVIP

已知27c+57d=44,求ab最大值的方法

主要内容：

本文详细介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算cd在27c+57d=44条件下的最大值。

主要公式：

1.sin2a+cos2a=1；

2.ab≤eq\f((a+b)2,2)；

3.二次方程根的判定定理；

4.一次函数的导数公式d（ax）=adx。

思路一：直接代入法

根据已知条件，替换d=eq\f(44-27c,57)，得到关于c的函数，再配方并根据二次函数性质得cd的取值范围。

cd=aeq\f(44-27c,57)

=-eq\f(1,57)(27c2-44c)

=-eq\f(9,19)(c2-eq\f(22,27)a)

=-eq\f(9,19)(c-eq\f(22,27))2+eq\f(484,1539),

则当c=eq\f(22,27)时，cd有最大值为eq\f(484,1539)。

思路二：判别式法

设cd=p，得到d=eq\f(p,c),代入已知条件关于c的函数，并根据二次函数性质得cd的取值范围。

27c+57d=44,

27c+57*eq\f(p,c)=44,

27c2-44c+57p=0,对c的二次方程有：

判别式△=442-4*27*57p≥0,即：

p≤eq\f(442,4*27*57)=eq\f(484,1539),

此时cd=p的最大值=eq\f(484,1539)。

思路三：三角换元法

将cd表示成三角函数，进而得cd的最大值,对于本题设:

27c=44cos2t，

57d=44sin2t，则：

c=eq\f(44,27)cos2t,d=eq\f(27,57)sin2t,代入得：

cd=eq\f(44,27)cos2t*eq\f(27,57)sin2t,

=eq\f(1,4)*eq\f(44,27)*eq\f(27,57)*(4cos2t*sin2t),

=eq\f(442,4*27*57)*sin22t,

当sin2t=±1时，cd有最大值=eq\f(484,1539)。

思路四：中值代换法

设27c=eq\f(44,2)+t?,57d=eq\f(44,2)-t?，则：

c=eq\f(1,27)(eq\f(44,2)+t?),d=eq\f(1,57)(eq\f(44,2)-t?),此时：

cd=eq\f(1,27)(eq\f(44,2)+t?)*eq\f(1,57)(eq\f(44,2)-t?)

=eq\f(1,27*57)(eq\f(442,4)-t?2)。

当t?=0时，即：

cd≤eq\f(442,4*27*57)=eq\f(484,1539),

则:cd的最大值为eq\f(484,1539)。

思路五：不等式法

当c，d均为正数时，则：

∵27c+57d≥2eq\r(27*57*cd),

∴(27c+57d)2≥4*27*57cd,

442≥4*27*57cd,即：

cd≤eq\f(442,4*27*57)=eq\f(484,1539),

则cd的最大值为:cdmax=eq\f(484,1539)。

思路六：数形几何法

如图，设直线27c+57b=44上的任意一点P(c?,d?),op与x轴的夹角为θ，则：

y

p(c?,d?)

o x

27c?+57d?=44,

d?=c?tanθ,

27c?+57c?tanθ=44，即：

c?=eq\f(44,27+57tanθ),

|c?*d?|=442*eq\f(|tanθ|,(27+57tanθ)2),

=eq\f(442,\f(729,|tanθ|)+2*27*57+3249|tanθ|),

≤eq\f(442,2*27*57+2*27*57)=eq\f(484,1539)，则：

cd的最大值=eq\f(484,1539).

思路七:构造函数法

设函数：f(c,d)=cd-λ*(27c+57d-44),则偏导数：

fc=d-27λ,fd=c-57λ,

fλ=27c+57d-44。

令fc=fd=fλ=0，则：

d=27λ,c=57λ。进一步代入得：

27λ+27λ=44,即λ=eq\f(22,27).

则：c=57*eq\f(22,27),b=27*eq\f(22,27).

cdmax=57*27*(eq\f(22,27))2=eq\f(484,1539)。