已知43k+50L=4,求ab最大值的方法.docVIP

已知43k+50L=4,求ab最大值的方法

主要内容：

本文详细介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算kL在43k+50L=4条件下的最大值。

主要公式：

1.sin2a+cos2a=1；

2.ab≤eq\f((a+b)2,2)；

3.二次方程根的判定定理；

4.一次函数的导数公式d（ax）=adx。

思路一：直接代入法

根据已知条件，替换L=eq\f(4-43k,50)，得到关于k的函数，再配方并根据二次函数性质得kL的取值范围。

kL=aeq\f(4-43k,50)

=-eq\f(1,50)(43k2-4k)

=-eq\f(43,50)(k2-eq\f(2,43)a)

=-eq\f(43,50)(k-eq\f(2,43))2+eq\f(2,1075),

则当k=eq\f(2,43)时，kL有最大值为eq\f(2,1075)。

思路二：判别式法

设kL=p，得到L=eq\f(p,k),代入已知条件关于k的函数，并根据二次函数性质得kL的取值范围。

43k+50L=4,

43k+50*eq\f(p,k)=4,

43k2-4k+50p=0,对k的二次方程有：

判别式△=42-4*43*50p≥0,即：

p≤eq\f(42,4*43*50)=eq\f(2,1075),

此时kL=p的最大值=eq\f(2,1075)。

思路三：三角换元法

将kL表示成三角函数，进而得kL的最大值,对于本题设:

43k=4cos2t，

50L=4sin2t，则：

k=eq\f(4,43)cos2t,L=eq\f(43,50)sin2t,代入得：

kL=eq\f(4,43)cos2t*eq\f(43,50)sin2t,

=eq\f(1,4)*eq\f(4,43)*eq\f(43,50)*(4cos2t*sin2t),

=eq\f(42,4*43*50)*sin22t,

当sin2t=±1时，kL有最大值=eq\f(2,1075)。

思路四：中值代换法

设43k=eq\f(4,2)+t?,50L=eq\f(4,2)-t?，则：

k=eq\f(1,43)(eq\f(4,2)+t?),L=eq\f(1,50)(eq\f(4,2)-t?),此时：

kL=eq\f(1,43)(eq\f(4,2)+t?)*eq\f(1,50)(eq\f(4,2)-t?)

=eq\f(1,43*50)(eq\f(42,4)-t?2)。

当t?=0时，即：

kL≤eq\f(42,4*43*50)=eq\f(2,1075),

则:kL的最大值为eq\f(2,1075)。

思路五：不等式法

当k，L均为正数时，则：

∵43k+50L≥2eq\r(43*50*kL),

∴(43k+50L)2≥4*43*50kL,

42≥4*43*50kL,即：

kL≤eq\f(42,4*43*50)=eq\f(2,1075),

则kL的最大值为:kLmax=eq\f(2,1075)。

思路六：数形几何法

如图，设直线43k+50b=4上的任意一点P(k?,L?),op与x轴的夹角为θ，则：

y

p(k?,L?)

o x

43k?+50L?=4,

L?=k?tanθ,

43k?+50k?tanθ=4，即：

k?=eq\f(4,43+50tanθ),

|k?*L?|=42*eq\f(|tanθ|,(43+50tanθ)2),

=eq\f(42,\f(1849,|tanθ|)+2*43*50+2500|tanθ|),

≤eq\f(42,2*43*50+2*43*50)=eq\f(2,1075)，则：

kL的最大值=eq\f(2,1075).

思路七:构造函数法

设函数：f(k,L)=kL-λ*(43k+50L-4),则偏导数：

fk=L-43λ,fL=k-50λ,

fλ=43k+50L-4。

令fk=fL=fλ=0，则：

L=43λ,k=50λ。进一步代入得：

43λ+43λ=4,即λ=eq\f(2,43).

则：k=50*eq\f(2,43),b=43*eq\f(2,43).

kLmax=50*43*(eq\f(2,43))2=eq\f(2,1075)。