2025年高考数学一轮总复习第2章函数第8讲函数与方程.pptxVIP

;第八讲函数与方程;知识梳理·双基自测;知识梳理·双基自测;知识梳理

知识点一函数的零点

1.函数零点的定义

对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使_________成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点.

注：函数的零点不是点.是函数f(x)与x轴交点的横坐标，而不是y＝f(x)与x轴的交点.;2.几个等价关系

方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与_________有交点?函数y＝f(x)有_________.

3.函数零点的判定(零点存在性定理)

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有___________，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得_________，这个c也就是方程f(x)＝0的根.;知识点二二分法

1.对于在区间[a，b]上连续不断且__________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间____________，使区间的两个端点逐步逼近_________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

2.给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：

(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)0，给定精确度ε；

(2)求区间(a，b)的中点c；;(3)计算f(c)

①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；

②若f(a)·f(c)0，则令b＝c

(此时零点x0∈(a，c))；

③若f(c)·f(b)0，则令a＝c

(此时零点x0∈(c，b)).

(4)判断是否达到精确度ε，即：若|a－b|ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)(3)(4).;归纳拓展

1.有关函数零点的结论

(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.

(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.

(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号.;(4)由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)0，如图所示.所以f(a)·f(b)0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件.事实上，只有当函数图象通过零点(不是偶个零点)时，函数值才变号，即相邻两个零点之间的函数值同号.;2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与零点的关系;双基自测

题组一走出误区

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.()

(2)函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实根.()

(3)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)0.()

(4)若f(x)在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)0，则f(x)在(a，b)内没有零点.();(5)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点.()

(6)函数y＝2x与y＝x2只有两个交点.()

[答案](1)×(2)√(3)×(4)×(5)×(6)×

[解析](1)函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标.

(2)函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实根.

(3)函数图象若没有穿过x轴，则f(a)·f(b)0.

(4)若在区间[a，b]内有多个零点，f(a)·f(b)0也可以.

(5)f(x)＝2x在R上单调递增没有零点.

(6)y＝x2与y＝2x在y轴左侧一个交点，y轴右侧两个交点，如在x＝2和x＝4处都有交点.;题组二走进教材

2.(必修1P155T1改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中的函数零点的是();C.(2，e) D．(e，＋∞)

[答案]C;4.(必修1P155T2改编)函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，部分对应关系如表所示，则该函数的零点个数至少为();题组三走向高考

5.(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)＝a(x＋1)2－1，g(x)＝cosx＋2ax，当x∈(－1,1)时，曲线y＝f(x)与y＝g(x)恰有一个交点，则a＝();[解析]令h(x)＝f(x)－g(x)＝ax2＋a－1－cosx，x∈(－1,1)，原题意等价于h(x)有且仅有一个零点，因为h(－x)＝a(－x)2＋a－1－cos(－x)＝ax2＋a－1－cosx＝h(x)，则h(x)为偶函数，根据偶函数的对称性可知h(x)的零点只能为0，即h(0)＝a－2＝0，解得a＝2，若a＝2，则h(x)＝2x2＋1－cosx，x∈(－1,1)，又因为2x2≥0,1－cosx≥0当且仅当x＝0时，等号成立，可得h(x)≥0，当且仅当x＝0时