陕西省西安交通大学苏州附属中学纳米人才实验班自主招生考试数学试卷.docVIP

陕西省西安交通大学苏州附属中学纳米人才实验班自主招生考试数学试卷

一、单选题

(★★)1.数整数部分的个位数是（）

A．1

B．2

C．3

D．以上都不是

(★★★★)2.甲，乙，丙共人参加三项知识竞赛，每项知识竞赛第一名到第三名的分数依次为，，．竞赛全部结束后，甲获得其中两项的第一名及总分第一名，则下列说法错误的是（）

A．第二名，第三名的总分之和为分或分

B．第二名的总分可能超过分

C．第三名的总分共有种情形

D．第三名不可能获得其中任何一场比赛的第一名

(★★★)3.已知实数x，y满足且，则的值为（）

A．

B．

C．

D．2

(★★★)4.如图，矩形ABCD的顶点A，B分别在x轴、y轴上，OA＝OB＝2，AD＝4，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点C的坐标为()

A．(6，4)

B．(?6，4)

C．(4，?6)

D．(?4，6)

(★★★)5.在中，，点在边上，且满足，，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)6.将一个正整数写成若干个正整数的和，俗称数的“拆分”．著名的哥德巴赫猜想：任一大于2的偶数都可写成两个质数之和（简称“”），研究的就是正偶数的一种“拆分”问题．

对哥德巴赫猜想，我们常用“”表示如下命题：每个大于2的偶数都可以表示为，其中为素因子个数不超过的正整数．显然哥德巴赫猜想可以表示为“”．在探索哥德巴赫猜想证明的过程中，我国数学家做出了杰出的贡献：1956年王元证明了“”“”“”，1962年潘承洞证明了“”，王元证明了“”，1966年陈景润证明了“”．请你完成下列问题：

将2021写成若干个（至少两个）连续正整数和的方式有（）

A．1种

B．2种

C．3种

D．4种

(★★)7.设都是正整数，满足，给出以下四个结论，其中正确的结论是（）

A．都不等于1

B．都不等于2

C．都大于1

D．至少有一个等于1

(★★★)8.如图，在矩形中，分别是边上的动点，点不与点重合，且是五边形内满足且的点．现给出以下结论，其中错误的是（）

A．与一定互补

B．点到边的距离一定相等

C．点到边的距离可能相等

D．点到边的距离的最大值为

(★★★)9.甲，乙两人同时各接受了600个零件的加工任务，甲比乙每分钟加工的数量多，两人同时开始加工，加工过程中甲因故障停止一会后又继续按原速加工，直到他们完成任务，甲比乙多加工的零件数量（个）与加工时间（分）之间的函数关系如图所示，点的横坐标为12，点的坐标为，点的横坐标为128，则下列说法中正确的是（）

A．甲每分钟加工的零件数量是5个

B．在60分钟时，甲比乙多加工了120个零件

C．点的横坐标是200

D．的最大值是216

二、多选题

(★★★)10.如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于两点，点在第一象限，点在轴正半轴上，连结交反比例函数图象于点为的平分线，过点作的垂线，垂足为，连结，有下列结论，其中正确的是（）

A．

B．

C．

D．若的面积为4，则的值为6

三、填空题

(★★★★)11.若正数a，b，c满足abc?1，，则______．

(★★★★)12.如图所示，用红、蓝、黄三色将图中区域A、B、C、D着色，要求有公共边界的相邻区域不能涂相同的颜色，满足恰好A涂蓝色的概率为_________．

(★★★)13.如图，已知内接于，将沿弦翻折后恰好经过弦的中点，则弦的长为___________，的半径为___________．

四、解答题

(★★★★)14.若α，β为锐角且时，现有公式：，利用此公式求解下列问题：

(1)求的值；

(2)若A，B为锐角且时，求的值；

(3)求的值．

(★★★★)15.已知关于x的方程，其中p，q都是实数．

(1)若时，方程有两个不同的实数根，，且，求实数p的值．

(2)若方程有三个不同的实数根，，，且，求实数p和q的值．

(3)是否同时存在